44. Свойство на Ъглополовящите в Триъгълник

Начертайте произволен \(\triangle ABC\). Разположете връх \(A\) долу вляво, връх \(B\) долу вдясно, а връх \(C\) горе. Означете страната срещу връх \(A\) с \(a\), страната срещу връх \(B\) с \(b\) и страната срещу връх \(C\) с \(c\). Постройте ъглополовящата на \(\angle C\), като тя започва от връх \(C\) и пресича страната \(AB\). Означете пресечната точка с \(L\). Ясно покажете отсечките \(AL\) и \(BL\) по страната \(AB\).

Основно свойство на ъглополовящата

Във всеки триъгълник ъглополовящата разделя срещуположната страна на отсечки, чието отношение е равно на отношението на прилежащите към тях страни. За \(\triangle ABC\) с ъглополовяща \(CL\) имаме: \[ \frac{AL}{BL} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} \] Също така знаем, че сборът от дължините на двете отсечки е равен на дължината на страната \(c\): \[ AL + BL = c \]

а) \( a = 6 \) m, \( b = 10 \) m и \( c = 8 \) m

Стъпка 1: Намираме отношението на отсечките

Заместваме дадените стойности за \(a\) и \(b\) в свойството на ъглополовящата и опростяваме: \[ \frac{AL}{BL} = \frac{10}{6} = \frac{\cancel{10}^5}{\cancel{6}_3} = \frac{5}{3} \]

Стъпка 2: Изразяваме дължините чрез коефициент на пропорционалност

Въвеждаме коефициент на пропорционалност \(x\). Тогава отсечките са: \[ AL = 5x \] \[ BL = 3x \]

Стъпка 3: Намираме \(x\) и дължините на отсечките

Заместваме изразите за \(AL\) и \(BL\) в равенството \( AL + BL = c \): \[ 5x + 3x = 8 \] \[ 8x = 8 \] \[ x = 1 \] Сега намираме конкретните дължини: \[ AL = 5 \cdot 1 = 5 \text{ m} \] \[ BL = 3 \cdot 1 = 3 \text{ m} \]

б) \( a = 35 \) dm, \( b = 30 \) dm и \( c = 39 \) dm

Стъпка 1: Намираме отношението на отсечките

Използваме свойството на ъглополовящата и опростяваме дробта: \[ \frac{AL}{BL} = \frac{30}{35} = \frac{\cancel{30}^6}{\cancel{35}_7} = \frac{6}{7} \]

Стъпка 2: Изразяваме дължините и намираме \(x\)

Въвеждаме коефициент на пропорционалност \(x\): \[ AL = 6x \text{ и } BL = 7x \] Събираме ги и приравняваме на дължината на страната \(c\): \[ 6x + 7x = 39 \] \[ 13x = 39 \] \[ x = \frac{\cancel{39}^3}{\cancel{13}_1} = 3 \]

Стъпка 3: Пресмятаме дължините

\[ AL = 6 \cdot 3 = 18 \text{ dm} \] \[ BL = 7 \cdot 3 = 21 \text{ dm} \]

в) \( a = 85,6 \) cm, \( b = 42,8 \) cm и \( c = 84,6 \) cm

Стъпка 1: Намираме отношението на отсечките

Прилагаме свойството на ъглополовящата. Забелязваме, че знаменателят е два пъти по-голям от числителя: \[ \frac{AL}{BL} = \frac{42,8}{85,6} = \frac{\cancel{42,8}^1}{\cancel{85,6}_2} = \frac{1}{2} \]

Стъпка 2: Изразяваме дължините и намираме \(x\)

Въвеждаме коефициент \(x\): \[ AL = 1x = x \text{ и } BL = 2x \] Заместваме в равенството за страната \(c\): \[ x + 2x = 84,6 \] \[ 3x = 84,6 \] \[ x = \frac{84,6}{3} = 28,2 \]

Стъпка 3: Пресмятаме дължините

\[ AL = 28,2 \text{ cm} \] \[ BL = 2 \cdot 28,2 = 56,4 \text{ cm} \]

г) \( c = 375 \) mm и \( a:b = 2:3 \)

Стъпка 1: Намираме отношението на отсечките

От даденото отношение \(a:b = 2:3\) следва, че \(\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\). Оттук обръщаме дробта: \[ \frac{b}{a} = \frac{3}{2} \] От свойството на ъглополовящата имаме: \[ \frac{AL}{BL} = \frac{b}{a} = \frac{3}{2} \]

Стъпка 2: Изразяваме дължините и намираме \(x\)

Въвеждаме коефициент \(x\): \[ AL = 3x \text{ и } BL = 2x \] Събираме ги и приравняваме на страната \(c\): \[ 3x + 2x = 375 \] \[ 5x = 375 \] \[ x = \frac{\cancel{375}^{75}}{\cancel{5}_1} = 75 \]

Стъпка 3: Пресмятаме дължините

\[ AL = 3 \cdot 75 = 225 \text{ mm} \] \[ BL = 2 \cdot 75 = 150 \text{ mm} \]

Свойство на ъглополовящата: \(\frac{AL}{BL} = \frac{b}{a}\). \(AL+BL=c\).

а)

\[ \frac{AL}{BL} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] \[ 5x + 3x = 8 \Rightarrow 8x = 8 \Rightarrow x = 1 \] \[ AL = 5 \text{ m}, BL = 3 \text{ m} \]

б)

\[ \frac{AL}{BL} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7} \] \[ 6x + 7x = 39 \Rightarrow 13x = 39 \Rightarrow x = 3 \] \[ AL = 18 \text{ dm}, BL = 21 \text{ dm} \]

в)

\[ \frac{AL}{BL} = \frac{42,8}{85,6} = \frac{1}{2} \] \[ x + 2x = 84,6 \Rightarrow 3x = 84,6 \Rightarrow x = 28,2 \] \[ AL = 28,2 \text{ cm}, BL = 56,4 \text{ cm} \]

г)

\[ \frac{b}{a} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{AL}{BL} = \frac{3}{2} \] \[ 3x + 2x = 375 \Rightarrow 5x = 375 \Rightarrow x = 75 \] \[ AL = 225 \text{ mm}, BL = 150 \text{ mm} \]