Най-важното от урока
1. Подготовка: Уверете се, че коефициентът пред \(x\) във всеки множител е положителен. Ако променяте знак на множител, обърнете и знака на неравенството (напр. \( (5-x) > 0 \Leftrightarrow x-5 < 0 \)).
2. Корени: Намерете всички корени и тяхната кратност (степента на множителя).
3. Знаци: Знакът в най-десния интервал е винаги \(+\).
4. Редуване: При преминаване през корен с нечетна кратност, знакът се сменя. При корен с четна кратност, знакът се запазва.
5. Решение: Запишете обединението на интервалите, които отговарят на знака на неравенството. При \(\ge\) или \(\le\) включете и самите корени в решението.
2. Корени: Намерете всички корени и тяхната кратност (степента на множителя).
3. Знаци: Знакът в най-десния интервал е винаги \(+\).
4. Редуване: При преминаване през корен с нечетна кратност, знакът се сменя. При корен с четна кратност, знакът се запазва.
5. Решение: Запишете обединението на интервалите, които отговарят на знака на неравенството. При \(\ge\) или \(\le\) включете и самите корени в решението.
Това е алгоритъм за решаване на неравенства, представени като произведение или частно на множители. Целта е да се намерят интервалите, в които изразът е положителен или отрицателен.
Стъпка 1: Подготовка. Приведете неравенството във вид, в който от едната страна е 0, а от другата – произведение от множители. Уверете се, че старшият коефициент (коефициентът пред \(x\)) във всеки множител е положителен. Ако не е, умножете по \(-1\) и обърнете знака на неравенството.
Намиране на корените. Намерете корените на уравнението \( f(x) = 0 \) (т.е. стойностите на \(x\), за които всеки от множителите става 0).
Нанасяне на числовата ос. Нанесете корените върху числовата ос, като така я разделяте на интервали.
Определяне на знаците. Знакът в най-десния интервал (след най-големия корен) винаги е плюс (+). След това, движейки се наляво, знаците се сменят алтернативно (редуват се) при всеки корен.
Да решим \( x(x+5)(x-8)(1-x) < 0 \).
1. Множителят \( (1-x) \) има отрицателен старши коефициент. Преобразуваме го: \( -(x-1) \). Неравенството става \( -x(x+5)(x-8)(x-1) < 0 \). Умножаваме по \(-1\) и обръщаме знака: \( x(x+5)(x-8)(x-1) > 0 \).
2. Корените са: \( x=0, x=-5, x=8, x=1 \).
3. Нанасяме ги на оста: -5, 0, 1, 8.
4. Знаците в интервалите отдясно наляво са: \(+\), \(-\), \(+\), \(-\), \(+\).
5. Търсим къде изразът е \( > 0 \), т.е. интервалите със знак \(+\).
Решение: \( x \in (-\infty, -5) \cup (0, 1) \cup (8, +\infty) \).
1. Множителят \( (1-x) \) има отрицателен старши коефициент. Преобразуваме го: \( -(x-1) \). Неравенството става \( -x(x+5)(x-8)(x-1) < 0 \). Умножаваме по \(-1\) и обръщаме знака: \( x(x+5)(x-8)(x-1) > 0 \).
2. Корените са: \( x=0, x=-5, x=8, x=1 \).
3. Нанасяме ги на оста: -5, 0, 1, 8.
4. Знаците в интервалите отдясно наляво са: \(+\), \(-\), \(+\), \(-\), \(+\).
5. Търсим къде изразът е \( > 0 \), т.е. интервалите със знак \(+\).
Решение: \( x \in (-\infty, -5) \cup (0, 1) \cup (8, +\infty) \).
Решете неравенството \( (x-2)(x+3) < 0 \).
Корените са \(x=2\) и \(x=-3\). Старшите коефициенти са положителни. Интервалите са \((-\infty, -3)\), \((-3, 2)\), \((2, +\infty)\). Знаците са \(+\), \(-\), \(+\). Търсим интервала със знак \(-\).
Отговор: \( x \in (-3, 2) \).
Отговор: \( x \in (-3, 2) \).
Кратност на корен се нарича степента, на която е повдигнат съответният множител. Например в \( (x-5)^4 \), коренът \(x=5\) е с четна кратност 4.
При преминаване през корен с нечетна кратност (1, 3, 5...), знакът в съседните интервали се променя (редува се).
При преминаване през корен с четна кратност (2, 4, 6...), знакът в съседните интервали се запазва (не се променя).
Да решим \( (x+4)(x-1)^2(x-7) \ge 0 \).
1. Корените са: \(x=-4\) (крат. 1, нечетна), \(x=1\) (крат. 2, четна), \(x=7\) (крат. 1, нечетна).
2. Знакът в \((7, +\infty)\) е \(+\).
3. При \(x=7\) (нечетна кр.) знакът се сменя: става \(-\) в \((1, 7)\).
4. При \(x=1\) (четна кр.) знакът се запазва: остава \(-\) в \((-4, 1)\).
5. При \(x=-4\) (нечетна кр.) знакът се сменя: става \(+\) в \((-\infty, -4)\).
6. Резултат за знаците: \(+\), \(-\), \(-\), \(+\).
7. Търсим \(\ge 0\). Това са интервалите с \(+\) и самите корени.
Решение: \( x \in (-\infty, -4] \cup \{1\} \cup [7, +\infty) \).
1. Корените са: \(x=-4\) (крат. 1, нечетна), \(x=1\) (крат. 2, четна), \(x=7\) (крат. 1, нечетна).
2. Знакът в \((7, +\infty)\) е \(+\).
3. При \(x=7\) (нечетна кр.) знакът се сменя: става \(-\) в \((1, 7)\).
4. При \(x=1\) (четна кр.) знакът се запазва: остава \(-\) в \((-4, 1)\).
5. При \(x=-4\) (нечетна кр.) знакът се сменя: става \(+\) в \((-\infty, -4)\).
6. Резултат за знаците: \(+\), \(-\), \(-\), \(+\).
7. Търсим \(\ge 0\). Това са интервалите с \(+\) и самите корени.
Решение: \( x \in (-\infty, -4] \cup \{1\} \cup [7, +\infty) \).
Решете неравенството \( (x-6)^2(x+1) > 0 \).
Корените са \(x=6\) (четна кратност) и \(x=-1\) (нечетна кратност). Знаците в интервалите са: \(+\), \(-\), \(-\). Търсим \( > 0 \).
Отговор: \( x \in (-1, 6) \cup (6, +\infty) \). (x=6 не е решение, защото неравенството е строго).
Отговор: \( x \in (-1, 6) \cup (6, +\infty) \). (x=6 не е решение, защото неравенството е строго).
Някои множители са винаги положителни или винаги отрицателни за всяка стойност на \(x\).
Множители, които са винаги положителни (напр. \(x^2+c\) за \(c>0\), \(2x^2+5\), \(e^x\)), могат да бъдат премахнати (чрез деление на двете страни), без това да променя знака или решението на неравенството.
При решаване на \( (2x^2+5)(x+4)(x-1)^2 \ge 0 \), множителят \( (2x^2+5) \) е винаги положителен. Затова неравенството е еквивалентно на \( (x+4)(x-1)^2 \ge 0 \), което се решава по-лесно.
Опростете и решете неравенството \( (x^2+9)(x-4) \le 0 \).
Тъй като \(x^2+9 > 0\) за всяко \(x\), можем да разделим на него. Неравенството става \(x-4 \le 0\), откъдето \(x \le 4\).
Отговор: \( x \in (-\infty, 4] \).
Отговор: \( x \in (-\infty, 4] \).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \( (x+2)(x-1)(x-4) > 0 \).
Корените са -2, 1, 4. Всички са с нечетна кратност (1). Знаците в интервалите отдясно наляво са \(+\), \(-\), \(+\), \(-\). Търсим интервалите със знак \(+\).
Отговор: \( x \in (-2, 1) \cup (4, +\infty) \).
Отговор: \( x \in (-2, 1) \cup (4, +\infty) \).
Средна: Решете неравенството \( (x+5)(x-2)^2(x-6) \le 0 \).
Корените са -5 (нечетна кр.), 2 (четна кр.), 6 (нечетна кр.). Знаците в интервалите са \(+\), \(-\), \(-\), \(+\). Търсим \(\le 0\). Това са интервалите със знак \(-\) и самите корени.
Интервалите с \(-\) са \( (-5, 2) \) и \( (2, 6) \). Заедно с корените, които удовлетворяват \(f(x)=0\), получаваме затворения интервал.
Отговор: \( x \in [-5, 6] \).
Интервалите с \(-\) са \( (-5, 2) \) и \( (2, 6) \). Заедно с корените, които удовлетворяват \(f(x)=0\), получаваме затворения интервал.
Отговор: \( x \in [-5, 6] \).
Трудна: Решете неравенството \( (3-x)(x+1)^3(x^2+4)(x-5)^4 \ge 0 \).
1. Преобразуваме \( (3-x) \) в \( -(x-3) \). Неравенството става \( -(x-3)(x+1)^3(x^2+4)(x-5)^4 \ge 0 \).
2. Умножаваме по \(-1\) и обръщаме знака: \( (x-3)(x+1)^3(x^2+4)(x-5)^4 \le 0 \).
3. Премахваме винаги положителния множител \( (x^2+4) \): \( (x-3)(x+1)^3(x-5)^4 \le 0 \).
4. Корените са: -1 (нечетна кр. 3), 3 (нечетна кр. 1), 5 (четна кр. 4).
5. Знаците в интервалите са: \(-\), \(-\), \(+\), \(-\).
6. Търсим \(\le 0\). Това са интервалите със знак \(-\) и самите корени.
Отговор: \( x \in [-1, 3] \cup \{5\} \).
2. Умножаваме по \(-1\) и обръщаме знака: \( (x-3)(x+1)^3(x^2+4)(x-5)^4 \le 0 \).
3. Премахваме винаги положителния множител \( (x^2+4) \): \( (x-3)(x+1)^3(x-5)^4 \le 0 \).
4. Корените са: -1 (нечетна кр. 3), 3 (нечетна кр. 1), 5 (четна кр. 4).
5. Знаците в интервалите са: \(-\), \(-\), \(+\), \(-\).
6. Търсим \(\le 0\). Това са интервалите със знак \(-\) и самите корени.
Отговор: \( x \in [-1, 3] \cup \{5\} \).
