82. Стойности на Тригонометрични Функции на Ъгли с Мерки 30°, 45°, 60°

За да пресметнем числовите стойности на дадените изрази, ще използваме следните таблични стойности на тригонометричните функции за специалните ъгли: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha & \operatorname{tg} \alpha & \operatorname{cotg} \alpha \\ \hline 30^\circ & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \sqrt{3} \\ \hline 45^\circ & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 & 1 \\ \hline 60^\circ & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & \sqrt{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \hline \end{array} \]

а) \( A = 2\sin 30^\circ - \cos 45^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ \)

Стъпка 1: Заместване на тригонометричните функции

Заместваме съответните стойности от таблицата: \[ A = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \]

Стъпка 2: Извършване на действията и опростяване

Извършваме умножението, като съкратим двойките, и след това унищожаваме противоположните числа: \[ A = \cancel{2}^1 \cdot \frac{1}{\cancel{2}_1} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \] \[ A = \cancel{1} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cancel{1} \] \[ A = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

б) \( B = \sin 30^\circ + \sqrt{2} \cos 45^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ - \operatorname{cotg} 30^\circ \)

Стъпка 1: Заместване на тригонометричните функции

Заместваме със стойностите: \[ B = \frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} \]

Стъпка 2: Извършване на действията и опростяване

Умножаваме корените (\( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \)) и съкращаваме получената дроб. След това унищожаваме противоположните числа: \[ B = \frac{1}{2} + \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{2}_1} + \cancel{\sqrt{3}} - \cancel{\sqrt{3}} \] \[ B = \frac{1}{2} + 1 \] \[ B = \frac{3}{2} \]

в) \( C = \sqrt{2} \cos 45^\circ + \sin 60^\circ - 3 \operatorname{tg} 30^\circ - \operatorname{cotg} 45^\circ \)

Стъпка 1: Заместване на тригонометричните функции

Заместваме стойностите: \[ C = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \]

Стъпка 2: Извършване на действията и опростяване

Извършваме умноженията, съкращаваме дробите и унищожаваме противоположните числа: \[ C = \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{2}_1} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \cancel{3}^1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cancel{3}_1} - 1 \] \[ C = \cancel{1} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} - \cancel{1} \] \[ C = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{2} \] \[ C = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

г) \( D = \frac{2\sin 30^\circ - \sqrt{2} \cos 45^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ}{\operatorname{cotg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 45^\circ} \)

Стъпка 1: Заместване на тригонометричните функции

Заместваме стойностите в числителя и знаменателя: \[ D = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}}{1 \cdot 1} \]

Стъпка 2: Извършване на действията и опростяване

Съкращаваме дробите в числителя и пресмятаме израза: \[ D = \frac{\cancel{2}^1 \cdot \frac{1}{\cancel{2}_1} - \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{2}_1} + \sqrt{3}}{1} \] \[ D = \cancel{1} - \cancel{1} + \sqrt{3} \] \[ D = \sqrt{3} \]

д) \( E = \frac{\sqrt{2} \cos 45^\circ + 2\sin 60^\circ - 3\operatorname{tg} 30^\circ}{\operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 60^\circ} \)

Стъпка 1: Заместване на тригонометричните функции

Заместваме стойностите: \[ E = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}} \]

Стъпка 2: Извършване на действията и опростяване

Съкращаваме и унищожаваме противоположните членове: \[ E = \frac{\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{2}_1} + \cancel{2}^1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}_1} - \cancel{3}^1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cancel{3}_1}}{\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{3}_1}} \] \[ E = \frac{1 + \cancel{\sqrt{3}} - \cancel{\sqrt{3}}}{1} \] \[ E = 1 \]

е) \( F = 2\cos 30^\circ + \sqrt{2} \cos 45^\circ + 2\operatorname{tg} 60^\circ - 4\sin^2 30^\circ \)

Стъпка 1: Заместване на тригонометричните функции

Внимание при \( \sin^2 30^\circ \), което означава \( (\sin 30^\circ)^2 \). Заместваме: \[ F = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{3} - 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

Стъпка 2: Извършване на действията и опростяване

Повдигаме на степен, съкращаваме дробите и събираме подобните членове: \[ F = \cancel{2}^1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}_1} + \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{2}_1} + 2\sqrt{3} - 4 \cdot \frac{1}{4} \] \[ F = \sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} - \cancel{4}^1 \cdot \frac{1}{\cancel{4}_1} \] \[ F = \sqrt{3} + \cancel{1} + 2\sqrt{3} - \cancel{1} \] \[ F = 3\sqrt{3} \]

а)

\[ A = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

б)

\[ B = \frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} = \frac{1}{2} + 1 + 0 = \frac{3}{2} \]

в)

\[ C = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} - 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

г)

\[ D = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}}{1 \cdot 1} = \frac{1 - 1 + \sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \]

д)

\[ E = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3}}{1} = 1 \]

е)

\[ F = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{3} - 4 \cdot \frac{1}{4} = \sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} - 1 = 3\sqrt{3} \]