37. Решаване на Системи Уравнения с Две Неизвестни чрез Заместване, Събиране или Изваждане

а) Решаване на системата чрез заместване

В тази система можем лесно да изразим \( x^2 \) от първото уравнение, за да го заместим във второто.

Стъпка 1: Изразяване на неизвестно

От първото уравнение \( x^2 - y = -1 \) изразяваме \( x^2 \): \[ x^2 = y - 1 \]

Стъпка 2: Заместване и решаване на квадратно уравнение

Заместваме израза за \( x^2 \) във второто уравнение \( y^2 + 2x^2 = 13 \): \[ y^2 + 2(y - 1) = 13 \] \[ y^2 + 2y - 2 = 13 \] \[ y^2 + 2y - 15 = 0 \] Решаваме квадратното уравнение спрямо \( y \): \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \] \[ y_{1,2} = \frac{-2 \pm 8}{2} \] Получаваме корени \( y_1 = 3 \) и \( y_2 = -5 \).

Стъпка 3: Намиране на съответните стойности за x

За всеки корен на \( y \) проверяваме стойността на \( x \) чрез \( x^2 = y - 1 \): 1. При \( y_1 = 3 \): \[ x^2 = 3 - 1 = 2 \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{2} \] Това ни дава решенията \( (\sqrt{2}; 3) \) и \( (-\sqrt{2}; 3) \). 2. При \( y_2 = -5 \): \[ x^2 = -5 - 1 = -6 \] Тъй като квадратът на реално число не може да бъде отрицателен, тук няма реални решения.

б) Решаване на системата чрез заместване

Тук е най-удобно да изразим една от променливите от второто уравнение.

Стъпка 1: Изразяване на неизвестно

От второто уравнение \( xy = 2 \) изразяваме \( y \) (тъй като \( x \neq 0 \)): \[ y = \frac{2}{x} \]

Стъпка 2: Заместване и решаване на биквадратно уравнение

Заместваме в първото уравнение \( x^2 - y^2 = 3 \): \[ x^2 - \left( \frac{2}{x} \right)^2 = 3 \] \[ x^2 - \frac{4}{x^2} = 3 \] Умножаваме по \( x^2 \) (\( x \neq 0 \)): \[ x^4 - 4 = 3x^2 \] \[ x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \] Полагаме \( t = x^2, t > 0 \): \[ t^2 - 3t - 4 = 0 \] Корените на квадратното уравнение са \( t_1 = 4 \) и \( t_2 = -1 \). Тъй като \( t = x^2 \), приемаме само \( t_1 = 4 \).

Стъпка 3: Намиране на x и y

\[ x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2 \] Намираме съответните стойности за \( y = \frac{2}{x} \): 1. При \( x_1 = 2 \Rightarrow y_1 = \frac{2}{2} = 1 \). 2. При \( x_2 = -2 \Rightarrow y_2 = \frac{2}{-2} = -1 \). Решенията са двойките \( (2; 1) \) и \( (-2; -1) \).

а) \( x^2 = y-1 \Rightarrow y^2+2y-2=13 \Rightarrow y^2+2y-15=0 \Rightarrow (y+5)(y-3)=0 \). \( y=3 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2} \); \( y=-5 \Rightarrow x^2=-6 \) (н.р.). Отг: \( (\pm \sqrt{2}; 3) \) б) \( y = \frac{2}{x} \Rightarrow x^2 - \frac{4}{x^2} = 3 \Rightarrow x^4-3x^2-4=0 \Rightarrow (x^2-4)(x^2+1)=0 \). \( x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2 \). За \( x=2, y=1 \); за \( x=-2, y=-1 \). Отг: \( (2; 1), (-2; -1) \)