Най-важното от урока
Питагорова теорема: \(a^2 + b^2 = c^2\). Пример: ако \(a=3, b=4\), то \(c=5\).
Метрични зависимости в правоъгълен \(\triangle\): \(h_c^2 = a_1 \cdot b_1\) и \(a^2 = c \cdot a_1\). Пример: ако \(a_1=4, b_1=9\), то \(h_c=6\).
Пресичащи се хорди: \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\). Пример: ако \(MA=2, MB=6, MC=3\), то \(MD=4\).
Секуща и допирателна: \(MT^2 = MA \cdot MB\). Пример: ако \(MB=4, MA=9\), то \(MT=6\).
Метрични зависимости в правоъгълен \(\triangle\): \(h_c^2 = a_1 \cdot b_1\) и \(a^2 = c \cdot a_1\). Пример: ако \(a_1=4, b_1=9\), то \(h_c=6\).
Пресичащи се хорди: \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\). Пример: ако \(MA=2, MB=6, MC=3\), то \(MD=4\).
Секуща и допирателна: \(MT^2 = MA \cdot MB\). Пример: ако \(MB=4, MA=9\), то \(MT=6\).
В правоъгълен триъгълник (\(\angle C=90^\circ\)) съществуват зависимости между катетите (\(a, b\)), хипотенузата (\(c\)), височината към нея (\(h_c\)) и проекциите на катетите върху нея (\(a_1, b_1\)).
\[ a^2 = c \cdot a_1 \]
\[ b^2 = c \cdot b_1 \]
\[ h_c^2 = a_1 \cdot b_1 \]
Ако проекциите на катетите са \(a_1 = 4\) cm и \(b_1 = 9\) cm, то височината към хипотенузата е:
\(h_c^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies h_c = \sqrt{36} = 6\) cm.
\(h_c^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies h_c = \sqrt{36} = 6\) cm.
Даден е правоъгълен триъгълник с хипотенуза \(c=10\) cm и проекция на катета \(a\) върху нея \(a_1 = 3.6\) cm. Намерете дължината на катета \(a\).
Прилагаме формулата \(a^2 = c \cdot a_1\):
\(a^2 = 10 \cdot 3.6 = 36\)
\(a = \sqrt{36} = 6\) cm.
\(a^2 = 10 \cdot 3.6 = 36\)
\(a = \sqrt{36} = 6\) cm.
В правоъгълен триъгълник сборът от квадратите на катетите (\(a, b\)) е равен на квадрата на хипотенузата (\(c\)).
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Ако катетите на правоъгълен триъгълник са \(a = 5\) cm и \(b = 12\) cm, хипотенузата \(c\) се намира така:
\(c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
\(c = \sqrt{169} = 13\) cm.
\(c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
\(c = \sqrt{169} = 13\) cm.
В правоъгълен триъгълник хипотенузата е \(c = 10\) cm, а единият катет е \(a=8\) cm. Намерете другия катет \(b\).
От Питагоровата теорема: \(b^2 = c^2 - a^2\).
\(b^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36\)
\(b = \sqrt{36} = 6\) cm.
\(b^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36\)
\(b = \sqrt{36} = 6\) cm.
Ако две хорди AB и CD в една окръжност се пресичат в точка M, произведението от отсечките на едната хорда е равно на произведението от отсечките на другата.
\[ MA \cdot MB = MC \cdot MD \]
Хордите AB и CD се пресичат в точка M. Ако \(MA = 6\), \(MB = 4\) и \(MC = 3\), то \(MD\) е:
\(6 \cdot 4 = 3 \cdot MD \implies 24 = 3 \cdot MD \implies MD = 8\).
\(6 \cdot 4 = 3 \cdot MD \implies 24 = 3 \cdot MD \implies MD = 8\).
Две хорди се пресичат в точка M. Едната се разделя на части с дължини 5 и 12. Другата хорда има дължина 19. Намерете частите, на които се разделя втората хорда.
Нека частите на втората хорда са \(x\) и \(19-x\).
От свойството имаме: \(5 \cdot 12 = x \cdot (19-x)\).
\(60 = 19x - x^2 \implies x^2 - 19x + 60 = 0\).
Решенията на квадратното уравнение са \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 15\).
Отговор: Частите са 4 и 15.
От свойството имаме: \(5 \cdot 12 = x \cdot (19-x)\).
\(60 = 19x - x^2 \implies x^2 - 19x + 60 = 0\).
Решенията на квадратното уравнение са \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 15\).
Отговор: Частите са 4 и 15.
От точка M, външна за окръжност, са прекарани секуща MAB и допирателна MT. Квадратът на допирателната отсечка е равен на произведението на цялата секуща и нейната външна част.
\[ MT^2 = MA \cdot MB \]
Ако има две секущи MAB и MDC, тогава \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\).
От точка M са прекарани допирателна \(MT = 8\) и секуща MAB с външна част \(MB = 4\). Дължината на цялата секуща MA е:
\(8^2 = MA \cdot 4 \implies 64 = 4 \cdot MA \implies MA = 16\).
\(8^2 = MA \cdot 4 \implies 64 = 4 \cdot MA \implies MA = 16\).
От точка M са прекарани секущи MAB и MDC. Ако \(MA = 10\), \(MB = 3\) и \(MD = 6\), намерете дължината на отсечката MC.
Използваме свойството \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\).
\(10 \cdot 3 = MC \cdot 6 \implies 30 = 6 \cdot MC \implies MC = 5\).
\(10 \cdot 3 = MC \cdot 6 \implies 30 = 6 \cdot MC \implies MC = 5\).
Задачи за упражнение
Лесна: В правоъгълен триъгълник катетите са 6 cm и 8 cm. Намерете дължината на хипотенузата.
По Питагоровата теорема \(c^2 = a^2 + b^2\):
\(c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
\(c = \sqrt{100} = 10\) cm.
\(c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
\(c = \sqrt{100} = 10\) cm.
Средна: В правоъгълен триъгълник проекциите на катетите върху хипотенузата са \(a_1 = 2\) cm и \(b_1 = 8\) cm. Намерете дължините на катетите.
1. Намираме хипотенузата: \(c = a_1 + b_1 = 2 + 8 = 10\) cm.
2. Намираме катет \(a\): \(a^2 = c \cdot a_1 = 10 \cdot 2 = 20 \implies a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) cm.
3. Намираме катет \(b\): \(b^2 = c \cdot b_1 = 10 \cdot 8 = 80 \implies b = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) cm.
2. Намираме катет \(a\): \(a^2 = c \cdot a_1 = 10 \cdot 2 = 20 \implies a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) cm.
3. Намираме катет \(b\): \(b^2 = c \cdot b_1 = 10 \cdot 8 = 80 \implies b = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) cm.
Трудна: От точка P, външна за окръжност, са построени допирателна PT с дължина 12 cm и секуща PAB. Намерете дължината на хордата AB, ако външната част на секущата PB е 8 cm.
Нека дължината на хордата AB е \(x\). Тогава цялата секуща \(PA = PB + AB = 8 + x\).
Прилагаме свойството \(PT^2 = PA \cdot PB\):
\(12^2 = (8 + x) \cdot 8\)
\(144 = 64 + 8x\)
\(8x = 144 - 64 = 80\)
\(x = 10\) cm. Дължината на хордата AB е 10 cm.
Прилагаме свойството \(PT^2 = PA \cdot PB\):
\(12^2 = (8 + x) \cdot 8\)
\(144 = 64 + 8x\)
\(8x = 144 - 64 = 80\)
\(x = 10\) cm. Дължината на хордата AB е 10 cm.
