Най-важното от урока
- Синус: \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\) (срещулежащ / хипотенуза)
- Косинус: \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) (прилежащ / хипотенуза)
- Тангенс: \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}\) (срещулежащ / прилежащ)
- Котангенс: \(\operatorname{cotg} \alpha = \frac{b}{a}\) (прилежащ / срещулежащ)
Синус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на дължината на срещулежащия катет към дължината на хипотенузата.
\[ \sin \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} \]
В правоъгълен триъгълник със страни \(a=3\), \(b=4\) и хипотенуза \(c=5\), синусът на ъгъл \( \alpha \) (срещу катета \(a\)) е:
\[ \sin \alpha = \frac{3}{5} = 0.6 \]
В правоъгълен триъгълник срещулежащият катет на ъгъл \( \alpha \) е 8 cm, а хипотенузата е 17 cm. Намерете \( \sin \alpha \).
\[ \sin \alpha = \frac{8}{17} \]
Косинус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на дължината на прилежащия катет към дължината на хипотенузата.
\[ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} \]
В правоъгълен триъгълник със страни \(a=3\), \(b=4\) и хипотенуза \(c=5\), косинусът на ъгъл \( \alpha \) (прилежащ към катета \(b\)) е:
\[ \cos \alpha = \frac{4}{5} = 0.8 \]
В правоъгълен триъгълник прилежащият катет на ъгъл \( \alpha \) е 12 cm, а хипотенузата е 13 cm. Намерете \( \cos \alpha \).
\[ \cos \alpha = \frac{12}{13} \]
Тангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на дължината на срещулежащия катет към дължината на прилежащия катет.
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{a}{b} \]
В правоъгълен триъгълник със страни \(a=3\), \(b=4\) и хипотенуза \(c=5\), тангенсът на ъгъл \( \alpha \) е:
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4} = 0.75 \]
В правоъгълен триъгълник срещулежащият катет на ъгъл \( \alpha \) е 9 cm, а прилежащият катет е 40 cm. Намерете \( \operatorname{tg} \alpha \).
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{9}{40} \]
Котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на дължината на прилежащия катет към дължината на срещулежащия катет.
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{срещулежащ катет}} = \frac{b}{a} \]
В правоъгълен триъгълник със страни \(a=3\), \(b=4\) и хипотенуза \(c=5\), котангенсът на ъгъл \( \alpha \) е:
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{4}{3} \]
В правоъгълен триъгълник прилежащият катет на ъгъл \( \alpha \) е 5 cm, а срещулежащият катет е 12 cm. Намерете \( \operatorname{cotg} \alpha \).
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{5}{12} \]
Задачи за упражнение
Лесна: В правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\measuredangle C = 90^\circ\)) катетите са \(a=5\) cm и \(b=12\) cm, а хипотенузата е \(c=13\) cm. Намерете стойностите на \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\) и \(\operatorname{tg} \alpha\).
\[ \sin \alpha = \frac{\text{срещулежащ}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{5}{13} \]
\[ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащ}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{12}{13} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{срещулежащ}}{\text{прилежащ}} = \frac{a}{b} = \frac{5}{12} \]
Средна: В правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\measuredangle C = 90^\circ\)) са дадени катетите \(a=8\) cm и \(b=15\) cm. Първо намерете дължината на хипотенузата \(c\), след което изчислете стойността на \(\cos \beta\).
От Питагоровата теорема \(a^2 + b^2 = c^2\):
\[ 8^2 + 15^2 = c^2 \]
\[ 64 + 225 = c^2 \]
\[ c^2 = 289 \implies c = \sqrt{289} = 17 \text{ cm} \]
За ъгъл \( \beta \), прилежащият катет е \(a=8\), а срещулежащият е \(b=15\).
\[ \cos \beta = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{8}{17} \]
Трудна: За остър ъгъл \( \alpha \) в правоъгълен триъгълник е дадено, че \(\sin \alpha = 0.6\). Ако дължината на срещулежащия катет \(a\) е 12 cm, намерете дължините на хипотенузата \(c\) и на прилежащия катет \(b\).
Знаем, че \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\). Представяме 0.6 като дроб: \(0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\).
\[ \frac{3}{5} = \frac{12}{c} \]
От пропорцията намираме \(3 \cdot c = 5 \cdot 12 \implies 3c = 60 \implies c = 20 \text{ cm}\).
Използваме Питагоровата теорема \(a^2 + b^2 = c^2\):
\[ 12^2 + b^2 = 20^2 \]
\[ 144 + b^2 = 400 \]
\[ b^2 = 400 - 144 = 256 \]
\[ b = \sqrt{256} = 16 \text{ cm} \]
Отговор: Хипотенузата \(c = 20\) cm, а прилежащият катет \(b = 16\) cm.
