Най-важното от урока
Дефиниции в правоъгълен триъгълник: \(\sin \alpha = \frac{\text{срещулежащ}}{\text{хипотенуза}}\), \(\cos \alpha = \frac{\text{прилежащ}}{\text{хипотенуза}}\), \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{срещулежащ}}{\text{прилежащ}}\), \(\operatorname{cotg} \alpha = \frac{\text{прилежащ}}{\text{срещулежащ}}\).
Основни тъждества: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \qquad \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \alpha = 1 \] \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \qquad 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] Свойства на острите ъгли (\(\alpha + \beta = 90^\circ\)): \(\sin \alpha = \cos \beta\), \(\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{cotg} \beta\), като винаги \(0 < \sin \alpha < 1\) и \(0 < \cos \alpha < 1\).
Основни тъждества: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \qquad \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \alpha = 1 \] \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \qquad 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] Свойства на острите ъгли (\(\alpha + \beta = 90^\circ\)): \(\sin \alpha = \cos \beta\), \(\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{cotg} \beta\), като винаги \(0 < \sin \alpha < 1\) и \(0 < \cos \alpha < 1\).
В правоъгълен триъгълник с катети \(a\) и \(b\), хипотенуза \(c\) и остър ъгъл \(\alpha\) (срещу катета \(a\)):
\[ \sin \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} \]
\[ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{a}{b} \]
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{срещулежащ катет}} = \frac{b}{a} \]
За всеки остър ъгъл \(\alpha \in (0^\circ; 90^\circ)\) стойностите на синус и косинус са строго ограничени в интервала \((0; 1)\):
\[ 0 < \sin \alpha < 1 \quad \text{и} \quad 0 < \cos \alpha < 1 \]
За двата остри ъгъла \(\alpha\) и \(\beta\) в правоъгълния триъгълник (\(\alpha + \beta = 90^\circ\)) са в сила равенствата:
\[ \sin \alpha = \cos \beta = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \sin \beta = \frac{b}{c} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{cotg} \beta = \frac{a}{b}, \qquad \operatorname{cotg} \alpha = \operatorname{tg} \beta = \frac{b}{a} \]
В правоъгълен триъгълник катетите са \(a = 3\text{ cm}\) и \(b = 4\text{ cm}\), а хипотенузата е \(c = 5\text{ cm}\). Намерете стойностите на тригонометричните функции на ъгъл \(\alpha\) (срещулежащ на катета \(a\)).
Прилагаме формулите за отношенията на страните:
\[ \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \]
\[ \cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{4}{5} = 0{,}8 \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \]
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{b}{a} = \frac{4}{3} \]
За всеки остър ъгъл \(\alpha \in (0^\circ; 90^\circ)\) са изпълнени следните зависимости:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \quad \text{(Основно тригонометрично тъждество)} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \alpha = 1 \]
От основните тъждества директно произтичат следните полезни равенства:
\[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \qquad \text{и} \qquad \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{cotg} \alpha} \qquad \text{и} \qquad \operatorname{cotg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \]
\[ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \]
Опростете израза \( A = 1 - \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).
Групираме събираемите с отрицателен знак:
\[ A = 1 - (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \]
Тъй като \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), получаваме:
\[ A = 1 - 1 = 0 \]
Ако е даден \(\sin \alpha\) (или \(\cos \alpha\)):
- Намираме другата функция чрез \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\) (или \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\)).
- Изчисляваме \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
- Изчисляваме \(\operatorname{cotg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}\).
Ако е даден \(\operatorname{tg} \alpha\) (или \(\operatorname{cotg} \alpha\)):
- Веднага намираме реципрочната стойност чрез \(\operatorname{cotg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}\).
- Съставяме система от равенствата \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha\) и \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
- Чрез заместване намираме стойностите на \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\).
Пресметнете стойностите на \(\cos \alpha\), \(\operatorname{tg} \alpha\) и \(\operatorname{cotg} \alpha\), ако \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) и \(\alpha \in (0^\circ; 90^\circ)\).
1. Изчисляваме \(\cos \alpha\):
\[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]
2. Изчисляваме \(\operatorname{tg} \alpha\):
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]
3. Изчисляваме \(\operatorname{cotg} \alpha\):
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = 2\sqrt{2} \]
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): В правоъгълен триъгълник с хипотенуза \(c = 10\) катетът срещу ъгъл \(\alpha\) е \(a = 6\). Намерете \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\).
1. Стойността на \(\sin \alpha\) е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:
\[ \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
2. За да намерим \(\cos \alpha\), първо намираме прилежащия катет \(b\) по Питагоровата теорема:
\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]
\[ \cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
(Алтернативно: \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\)).
Задача 2 (Средна): Опростете тригонометричния израз:
\[ B = \operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cdot \operatorname{tg}^2 \alpha \]
Изнасяме общ множител \(\operatorname{tg}^2 \alpha\):
\[ B = \operatorname{tg}^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha) \]
Тъй като \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\), получаваме:
\[ B = \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \]
Заместваме \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\[ B = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \]
Задача 3 (Средна): Докажете тъждеството:
\[ \sin \alpha + \cos \alpha \cdot \operatorname{cotg} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} \]
Преобразуваме лявата страна, като изразим \(\operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\):
\[ \text{ЛС} = \sin \alpha + \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \sin \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \]
Привеждаме под общ знаменател \(\sin \alpha\):
\[ \text{ЛС} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \]
Тъй като \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):
\[ \text{ЛС} = \frac{1}{\sin \alpha} = \text{ДС} \]
С това тъждеството е доказано.
Задача 4 (Трудна): Намерете \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\) и \(\operatorname{cotg} \alpha\), ако \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{2}\) за остър ъгъл \(\alpha\).
1. Намираме котангенса:
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]
2. Тъй като \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{2}\), следва, че:
\[ \cos \alpha = 2 \sin \alpha \]
3. Заместваме в основното тъждество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):
\[ \sin^2 \alpha + (2 \sin \alpha)^2 = 1 \]
\[ \sin^2 \alpha + 4 \sin^2 \alpha = 1 \implies 5 \sin^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = \frac{1}{5} \]
Тъй като \(\alpha\) е остър ъгъл (\(\sin \alpha > 0\)):
\[ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]
4. Намираме \(\cos \alpha\):
\[ \cos \alpha = 2 \sin \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]
