Най-важното от урока
Цел на метода: Да се елиминира едно от неизвестните чрез събиране на уравненията.
Какво правим, ако коефициентите не са противоположни?
Какво правим, ако коефициентите не са противоположни?
- Случай 1: Умножаваме едното уравнение. Пример: в \(\begin{cases} x+... \\ 2x+... \end{cases}\) умножаваме първото по \(-2\).
- Случай 2: Умножаваме двете уравнения. Пример: в \(\begin{cases} 3x+... \\ 2x+... \end{cases}\) умножаваме първото по 2, а второто по \(-3\).
Методът на събиране се основава на свойството, че ако съберем почленно две верни равенства, резултатът е ново вярно равенство. Целта е да се елиминира (премахне) едно от неизвестните, за да се получи уравнение само с едно неизвестно.
Дадена е системата:
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \\
x - y = 1
\end{cases}
\]
Коефициентите пред \(y\) са \(+1\) и \(-1\). Те са противоположни числа, затова събираме двете уравнения:
\[ (x+y) + (x-y) = 5+1 \]
\[ 2x = 6 \Rightarrow x=3 \]
След като намерим \(x\), го заместваме в първото уравнение: \(3+y=5 \Rightarrow y=2\). Решението е наредената двойка \((3; 2)\).
Решете системата, като използвате директно събиране:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 0 \\
-x + 3y = 5
\end{cases}
\]
Събираме почленно: \((x + 2y) + (-x + 3y) = 0 + 5 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1\).
Заместваме \(y=1\) в първото уравнение: \(x + 2 \cdot 1 = 0 \Rightarrow x = -2\).
Отговор: \((-2; 1)\).
Заместваме \(y=1\) в първото уравнение: \(x + 2 \cdot 1 = 0 \Rightarrow x = -2\).
Отговор: \((-2; 1)\).
Ако коефициентите пред едно от неизвестните не са противоположни, трябва да умножим едното или и двете уравнения с подходящи числа, за да ги направим такива.
Умножение на едно уравнение:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 8 \\
3x - y = 3
\end{cases}
\]
За да елиминираме \(y\), умножаваме второто уравнение по 2:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 8 \\
(3x - y) \cdot 2 = 3 \cdot 2
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x + 2y = 8 \\
6x - 2y = 6
\end{cases}
\]
Сега коефициентите пред \(y\) са \(2\) и \(-2\) и можем да съберем уравненията.
Умножение на двете уравнения:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 7 \\
3x - 2y = -9
\end{cases}
\]
За да елиминираме \(y\), търсим НОК на коефициентите пред него (3 и 2), което е 6. Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3:
\[
\begin{cases}
(2x + 3y) \cdot 2 = 7 \cdot 2 \\
(3x - 2y) \cdot 3 = -9 \cdot 3
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
4x + 6y = 14 \\
9x - 6y = -27
\end{cases}
\]
Сега коефициентите пред \(y\) са \(6\) и \(-6\) и можем да ги съберем.
Как трябва да преобразувате системата, за да елиминирате \(x\)?
\[
\begin{cases}
3x + 5y = 1 \\
2x - y = 5
\end{cases}
\]
НОК на коефициентите пред \(x\) (3 и 2) е 6.
Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по -3.
Получаваме: \[ \begin{cases} 6x + 10y = 2 \\ -6x + 3y = -15 \end{cases} \]
Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по -3.
Получаваме: \[ \begin{cases} 6x + 10y = 2 \\ -6x + 3y = -15 \end{cases} \]
Подготовка: Ако е необходимо, умножете едното или двете уравнения с подходящи числа, за да получите противоположни коефициенти пред едно от неизвестните.
Събиране: Съберете почленно двете уравнения, за да получите ново уравнение само с едно неизвестно.
Намиране на първото неизвестно: Решете полученото на стъпка 2 уравнение.
Намиране на второто неизвестно: Заместете намерената стойност в някое от първоначалните уравнения и намерете стойността на другото неизвестно.
Запис на отговора: Запишете решението като наредена двойка числа \((x; y)\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете системата:
\[
\begin{cases}
2x - 3y = 1 \\
-2x + 5y = 7
\end{cases}
\]
Събираме двете уравнения: \(2y = 8 \Rightarrow y = 4\).
Заместваме \(y=4\) в първото уравнение: \(2x - 3 \cdot 4 = 1 \Rightarrow 2x - 12 = 1 \Rightarrow 2x = 13 \Rightarrow x = 6.5\).
Отговор: \((6.5; 4)\).
Заместваме \(y=4\) в първото уравнение: \(2x - 3 \cdot 4 = 1 \Rightarrow 2x - 12 = 1 \Rightarrow 2x = 13 \Rightarrow x = 6.5\).
Отговор: \((6.5; 4)\).
Средна: Решете системата:
\[
\begin{cases}
x + 3y = 7 \\
2x + y = 4
\end{cases}
\]
Умножаваме първото уравнение по -2, за да елиминираме \(x\):
\[
\begin{cases}
-2x - 6y = -14 \\
2x + y = 4
\end{cases}
\]
Събираме: \(-5y = -10 \Rightarrow y = 2\).
Заместваме \(y=2\) в първоначалното първо уравнение: \(x + 3 \cdot 2 = 7 \Rightarrow x + 6 = 7 \Rightarrow x = 1\).
Отговор: \((1; 2)\).
Заместваме \(y=2\) в първоначалното първо уравнение: \(x + 3 \cdot 2 = 7 \Rightarrow x + 6 = 7 \Rightarrow x = 1\).
Отговор: \((1; 2)\).
Трудна: Решете системата:
\[
\begin{cases}
3x + 2y = 8 \\
2x - 5y = -1
\end{cases}
\]
За да елиминираме \(y\), умножаваме първото уравнение по 5, а второто по 2:
\[
\begin{cases}
15x + 10y = 40 \\
4x - 10y = -2
\end{cases}
\]
Събираме: \(19x = 38 \Rightarrow x = 2\).
Заместваме \(x=2\) в първоначалното първо уравнение: \(3 \cdot 2 + 2y = 8 \Rightarrow 6 + 2y = 8 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1\).
Отговор: \((2; 1)\).
Заместваме \(x=2\) в първоначалното първо уравнение: \(3 \cdot 2 + 2y = 8 \Rightarrow 6 + 2y = 8 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1\).
Отговор: \((2; 1)\).
