Най-важното от урока
Линейна функция: Има вида \( y = ax + b \). Графиката ѝ е права линия.
Построяване: Намират се две точки (например за \(x=0\) и \(x=1\)) и се свързват с права.
Коефициент \( a \): Определя наклона. Функции с еднакъв \(a\) имат успоредни графики (Пример: \(y=5x+1\) || \(y=5x-10\)).
Свободен член \( b \): Показва пресечната точка с \(Oy\). (Пример: \(y=2x-7\) пресича \(Oy\) в точка (0, -7)).
Специални случаи: \(y=b\) е хоризонтална права; \(x=c\) е вертикална права (не е функция).
Построяване: Намират се две точки (например за \(x=0\) и \(x=1\)) и се свързват с права.
Коефициент \( a \): Определя наклона. Функции с еднакъв \(a\) имат успоредни графики (Пример: \(y=5x+1\) || \(y=5x-10\)).
Свободен член \( b \): Показва пресечната точка с \(Oy\). (Пример: \(y=2x-7\) пресича \(Oy\) в точка (0, -7)).
Специални случаи: \(y=b\) е хоризонтална права; \(x=c\) е вертикална права (не е функция).
Функция от вида \( y = ax + b \), където \(a\) и \(b\) са константи, се нарича линейна функция.
Числото \(a\) се нарича коефициент пред аргумента (определя наклона на графиката).
Числото \(b\) се нарича свободен член (показва къде графиката пресича оста \(Oy\)).
Във функцията \( y = 3x - 5 \), коефициентът \( a = 3 \), а свободният член \( b = -5 \).
Определете коефициента \(a\) и свободния член \(b\) за функцията \( y = -2x + 7 \).
Отговор: Коефициентът \( a = -2 \), свободният член \( b = 7 \).
Графиката на всяка линейна функция е права линия. За да я построим, са ни достатъчни само две точки.
Избираме две произволни стойности за \(x\). Най-лесно е да изберем \(x=0\) и \(x=1\).
Изчисляваме съответните стойности за \(y\) за всяка от избраните стойности на \(x\).
Нанасяме двете получени точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) в координатната система и ги свързваме с права линия.
Да построим графиката на \( y = 2x - 1 \):
1. За \(x = 0 \implies y = 2 \cdot 0 - 1 = -1\). Точка A(0; -1).
2. За \(x = 2 \implies y = 2 \cdot 2 - 1 = 3\). Точка B(2; 3).
3. Построяваме точките A и B и чертаем права през тях.
1. За \(x = 0 \implies y = 2 \cdot 0 - 1 = -1\). Точка A(0; -1).
2. За \(x = 2 \implies y = 2 \cdot 2 - 1 = 3\). Точка B(2; 3).
3. Построяваме точките A и B и чертаем права през тях.
Намерете координатите на две точки от графиката на функцията \( y = -x + 4 \).
Примерни точки:
Ако \(x=0\), то \(y = -0 + 4 = 4\). Точка (0; 4).
Ако \(x=1\), то \(y = -1 + 4 = 3\). Точка (1; 3).
Ако \(x=0\), то \(y = -0 + 4 = 4\). Точка (0; 4).
Ако \(x=1\), то \(y = -1 + 4 = 3\). Точка (1; 3).
Ако две линейни функции \( y = a_1x + b_1 \) и \( y = a_2x + b_2 \) имат еднакви коефициенти пред \(x\) (т.е. \( a_1 = a_2 \)) и различни свободни членове (\( b_1 \ne b_2 \)), техните графики са успоредни прави.
Графиките на функциите \( y = 2x + 3 \) и \( y = 2x - 1 \) са успоредни, защото и при двете \( a=2 \). Графиката на \( y = 2x + 3 \) е просто изместена "по-нагоре" от тази на \( y = 2x - 1 \).
Успоредни ли са графиките на функциите \( y = 5x + 4 \) и \( y = 4x + 5 \)?
Отговор: Не, не са успоредни, защото коефициентите пред \(x\) са различни (\(5 \ne 4\)).
Хоризонтална права: Уравнение от вида \( y = b \) (частен случай на \(y=ax+b\), където \( a=0 \)). Графиката е права, успоредна на оста \(Ox\). Всички точки от нея имат еднаква ордината (y-координата).
Графиката на \( y = 3 \) е хоризонтална права, която пресича оста \(Oy\) в точка (0, 3).
Вертикална права: Уравнение от вида \( x = c \). Това не е функция. Графиката е права, успоредна на оста \(Oy\). Всички точки от нея имат еднаква абсциса (x-координата).
Графиката на \( x = 2 \) е вертикална права, която пресича оста \(Ox\) в точка (2, 0).
Каква е графиката на уравнението \( y = -5 \)?
Отговор: Хоризонтална права, успоредна на оста \(Ox\), която минава през точката (0, -5).
Задачи за упражнение
Лесна: Постройте графиката на функцията \( y = x + 2 \).
Намираме две точки:
1. При \(x = 0 \implies y = 0 + 2 = 2\). Точка А(0, 2).
2. При \(x = 1 \implies y = 1 + 2 = 3\). Точка B(1, 3).
Чертаем права през точките A и B.
1. При \(x = 0 \implies y = 0 + 2 = 2\). Точка А(0, 2).
2. При \(x = 1 \implies y = 1 + 2 = 3\). Точка B(1, 3).
Чертаем права през точките A и B.
Средна: Напишете уравнение на линейна функция, чиято графика е успоредна на графиката на \( y = -3x + 1 \) и минава през точка (0, 5).
За да е успоредна, коефициентът \(a\) трябва да е същият, т.е. \(a = -3\).
Тъй като минава през точка (0, 5), това означава, че пресича оста \(Oy\) в \(y=5\), следователно свободният член \(b = 5\).
Отговор: \( y = -3x + 5 \).
Тъй като минава през точка (0, 5), това означава, че пресича оста \(Oy\) в \(y=5\), следователно свободният член \(b = 5\).
Отговор: \( y = -3x + 5 \).
Трудна: Определете дали точката M(2, -1) лежи на графиката на функцията \( y = -2x + 3 \).
Заместваме координатите на точката M (\(x=2, y=-1\)) в уравнението на функцията:
\( -1 \stackrel{?}{=} -2 \cdot (2) + 3 \)
\( -1 \stackrel{?}{=} -4 + 3 \)
\( -1 = -1 \)
Равенството е вярно, следователно точката лежи на графиката.
\( -1 \stackrel{?}{=} -2 \cdot (2) + 3 \)
\( -1 \stackrel{?}{=} -4 + 3 \)
\( -1 = -1 \)
Равенството е вярно, следователно точката лежи на графиката.
