Най-важното от урока
\((+)\) Неравенства (\(>0\) или \(\ge 0\)): Множителите/делителите имат еднакви знаци.
Пример: За \((x-1)(x-5)>0\) търсим \(x>5\) ИЛИ \(x<1\).
\((-)\) Неравенства (\(<0\) или \(\le 0\)): Множителите/делителите имат различни знаци.
Пример: За \((x-1)(x-5)<0\) търсим \(1Внимание: При дробни неравенства знаменателят никога не може да е нула.
Пример: За \(\frac{x}{x-2} \ge 0\), неравенството за знаменателя е \(x-2>0\), а не \(x-2 \ge 0\).
Пример: За \((x-1)(x-5)>0\) търсим \(x>5\) ИЛИ \(x<1\).
\((-)\) Неравенства (\(<0\) или \(\le 0\)): Множителите/делителите имат различни знаци.
Пример: За \((x-1)(x-5)<0\) търсим \(1
Пример: За \(\frac{x}{x-2} \ge 0\), неравенството за знаменателя е \(x-2>0\), а не \(x-2 \ge 0\).
Произведение или частно на два израза е положително, когато двата израза имат еднакви знаци (и двата са положителни ИЛИ и двата са отрицателни).
Неравенството се разпада на две системи, чиито решения трябва да обединим.
\[ \text{Система 1:} \begin{cases} ax+b>0 \\ cx+d>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \text{Система 2:} \begin{cases} ax+b<0 \\ cx+d<0 \end{cases} \]
Решаваме всяка система поотделно.
Обединяваме получените интервали от решения.
Да решим неравенството \((2x+1)(x-3)>0\).
Система 1: \[ \begin{cases} 2x+1>0 \\ x-3>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1/2 \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow x \in (3; +\infty) \] Система 2: \[ \begin{cases} 2x+1<0 \\ x-3<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -1/2 \\ x < 3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -1/2) \] Краен отговор (обединение): \(x \in (-\infty; -1/2) \cup (3; +\infty)\).
Система 1: \[ \begin{cases} 2x+1>0 \\ x-3>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1/2 \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow x \in (3; +\infty) \] Система 2: \[ \begin{cases} 2x+1<0 \\ x-3<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -1/2 \\ x < 3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -1/2) \] Краен отговор (обединение): \(x \in (-\infty; -1/2) \cup (3; +\infty)\).
Решете неравенството \(\frac{x+2}{x-4}>0\).
Разглеждаме две системи:
1) \( \begin{cases} x+2>0 \\ x-4>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-2 \\ x>4 \end{cases} \Rightarrow x \in (4; +\infty) \)
2) \( \begin{cases} x+2<0 \\ x-4<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-2 \\ x<4 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -2) \)
Отговор: \(x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\).
1) \( \begin{cases} x+2>0 \\ x-4>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-2 \\ x>4 \end{cases} \Rightarrow x \in (4; +\infty) \)
2) \( \begin{cases} x+2<0 \\ x-4<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-2 \\ x<4 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -2) \)
Отговор: \(x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)\).
Произведение или частно на два израза е отрицателно, когато двата израза имат различни знаци (единият е положителен, а другият - отрицателен).
Неравенството се разпада на две системи, чиито решения трябва да обединим.
\[ \text{Система 1:} \begin{cases} ax+b>0 \\ cx+d<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \text{Система 2:} \begin{cases} ax+b<0 \\ cx+d>0 \end{cases} \]
Решаваме всяка система поотделно. Обикновено едната от тях няма решение.
Обединяваме получените решения.
Да решим неравенството \((x+5)(2x-7)<0\).
Система 1: \[ \begin{cases} x+5>0 \\ 2x-7<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -5 \\ x < 3.5 \end{cases} \Rightarrow x \in (-5; 3.5) \] Система 2: \[ \begin{cases} x+5<0 \\ 2x-7>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -5 \\ x > 3.5 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset \] Краен отговор (обединение): \(x \in (-5; 3.5)\).
Система 1: \[ \begin{cases} x+5>0 \\ 2x-7<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -5 \\ x < 3.5 \end{cases} \Rightarrow x \in (-5; 3.5) \] Система 2: \[ \begin{cases} x+5<0 \\ 2x-7>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -5 \\ x > 3.5 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset \] Краен отговор (обединение): \(x \in (-5; 3.5)\).
Решете неравенството \((x-1)(x+6)<0\).
Разглеждаме две системи:
1) \( \begin{cases} x-1>0 \\ x+6<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>1 \\ x<-6 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset \)
2) \( \begin{cases} x-1<0 \\ x+6>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<1 \\ x>-6 \end{cases} \Rightarrow x \in (-6; 1) \)
Отговор: \(x \in (-6; 1)\).
1) \( \begin{cases} x-1>0 \\ x+6<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>1 \\ x<-6 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset \)
2) \( \begin{cases} x-1<0 \\ x+6>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<1 \\ x>-6 \end{cases} \Rightarrow x \in (-6; 1) \)
Отговор: \(x \in (-6; 1)\).
При нестроги неравенства (\(\ge, \le\)) подходът е същият, но се използват нестроги знаци в системите.
При дробни неравенства (\(\frac{A}{B} \ge 0\) или \(\frac{A}{B} \le 0\)) знаменателят \(B\) никога не може да бъде равен на нула. Затова неравенството за знаменателя винаги е строго (\(B>0\) или \(B<0\)).
Да решим неравенството \((5x-1)(3-x) \ge 0\).
Система 1: \[ \begin{cases} 5x-1 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1/5 \\ x \le 3 \end{cases} \Rightarrow x \in [1/5; 3] \] Система 2: \[ \begin{cases} 5x-1 \le 0 \\ 3-x \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 1/5 \\ x \ge 3 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset \] Краен отговор: \(x \in [1/5; 3]\).
Система 1: \[ \begin{cases} 5x-1 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1/5 \\ x \le 3 \end{cases} \Rightarrow x \in [1/5; 3] \] Система 2: \[ \begin{cases} 5x-1 \le 0 \\ 3-x \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 1/5 \\ x \ge 3 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset \] Краен отговор: \(x \in [1/5; 3]\).
Решете неравенството \(\frac{x+3}{x-5} \le 0\).
Разглеждаме две системи, като за знаменателя използваме строг знак:
1) \( \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-5 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -3 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in [-3; 5) \)
2) \( \begin{cases} x+3 \le 0 \\ x-5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le -3 \\ x > 5 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset \)
Отговор: \(x \in [-3; 5)\).
1) \( \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-5 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -3 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in [-3; 5) \)
2) \( \begin{cases} x+3 \le 0 \\ x-5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le -3 \\ x > 5 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset \)
Отговор: \(x \in [-3; 5)\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \((x-8)(x+2) > 0\).
Случай 1 (двата множителя са положителни): \(x>8\) и \(x>-2 \Rightarrow x \in (8, \infty)\).
Случай 2 (двата множителя са отрицателни): \(x<8\) и \(x<-2 \Rightarrow x \in (-\infty, -2)\).
Отговор: \(x \in (-\infty; -2) \cup (8; +\infty)\).
Случай 2 (двата множителя са отрицателни): \(x<8\) и \(x<-2 \Rightarrow x \in (-\infty, -2)\).
Отговор: \(x \in (-\infty; -2) \cup (8; +\infty)\).
Средна: Решете неравенството \((5-x)(2x+4) \le 0\).
Разглеждаме случай на различни знаци (или равенство на 0).
1) \( \begin{cases} 5-x \ge 0 \\ 2x+4 \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 5 \\ x \le -2 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -2] \)
2) \( \begin{cases} 5-x \le 0 \\ 2x+4 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 5 \\ x \ge -2 \end{cases} \Rightarrow x \in [5; +\infty) \)
Отговор: \(x \in (-\infty; -2] \cup [5; +\infty)\).
1) \( \begin{cases} 5-x \ge 0 \\ 2x+4 \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 5 \\ x \le -2 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -2] \)
2) \( \begin{cases} 5-x \le 0 \\ 2x+4 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 5 \\ x \ge -2 \end{cases} \Rightarrow x \in [5; +\infty) \)
Отговор: \(x \in (-\infty; -2] \cup [5; +\infty)\).
Трудна: Решете неравенството \(\frac{4x-8}{x+1} \ge 0\).
Разглеждаме случай на еднакви знаци, като за знаменателя знакът е строг.
1) \( \begin{cases} 4x-8 \ge 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x \in [2; +\infty) \)
2) \( \begin{cases} 4x-8 \le 0 \\ x+1 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 2 \\ x < -1 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \)
Отговор: \(x \in (-\infty; -1) \cup [2; +\infty)\).
1) \( \begin{cases} 4x-8 \ge 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x \in [2; +\infty) \)
2) \( \begin{cases} 4x-8 \le 0 \\ x+1 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 2 \\ x < -1 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \)
Отговор: \(x \in (-\infty; -1) \cup [2; +\infty)\).
