Най-важното от урока
Функция \(y=f(x)\) е правило, което съпоставя на всяко \(x\) точно едно \(y\).
Линейна функция \(y = ax + b\) има за графика права линия. Пример: \(y=2x-1\).
Квадратна функция \(y = ax^2 + bx + c\) има за графика парабола. Върхът ѝ при \(x_v = -\frac{b}{2a}\) определя най-голямата/най-малката стойност. Пример: \(y=x^2\) има минимум в \((0;0)\).
Пресечни точки на \(f(x)\) и \(g(x)\) се намират, като решим уравнението \(f(x) = g(x)\).
Линейна функция \(y = ax + b\) има за графика права линия. Пример: \(y=2x-1\).
Квадратна функция \(y = ax^2 + bx + c\) има за графика парабола. Върхът ѝ при \(x_v = -\frac{b}{2a}\) определя най-голямата/най-малката стойност. Пример: \(y=x^2\) има минимум в \((0;0)\).
Пресечни точки на \(f(x)\) и \(g(x)\) се намират, като решим уравнението \(f(x) = g(x)\).
Функция е правило \(f\), по което на всяка стойност на независимата променлива \(x\) от дадено множество (дефиниционна област \(D\)) се съпоставя точно една стойност на променливата \(y\). Записваме \(y = f(x)\).
Графика на функция е множеството от всички точки с координати \((x; f(x))\) в една координатна система.
Дадена е функцията \(f(x) = 2x + 1\).
За \(x = 3\), стойността на функцията е \(y = f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7\).
Точката \((3; 7)\) лежи на графиката на тази функция.
Ако \(f(x) = x^2 - 5\), намерете стойността на \(f(4)\).
\(f(4) = 4^2 - 5 = 16 - 5 = 11\).
\[ y = ax + b \]
където \(a\) и \(b\) са константи.
Графиката на линейната функция е права линия. За да я построим, е достатъчно да намерим координатите на две точки.
За да построим графиката на \(y = 3x + 2\), избираме две стойности за \(x\):
- Ако \(x=0\), то \(y = 3 \cdot 0 + 2 = 2\). Точка A(0; 2).
- Ако \(x=1\), то \(y = 3 \cdot 1 + 2 = 5\). Точка B(1; 5).
Намерете пресечната точка на графиката на функцията \(y = -2x + 8\) с абсцисната ос (\(Ox\)).
Пресечната точка с оста \(Ox\) има \(y\)-координата 0.
Решаваме уравнението \(0 = -2x + 8\).
\(2x = 8 \implies x = 4\).
Точката е \((4; 0)\).
Решаваме уравнението \(0 = -2x + 8\).
\(2x = 8 \implies x = 4\).
Точката е \((4; 0)\).
\[ y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0 \]
Графиката на квадратната функция е крива, наречена парабола.
- Ако \(a > 0\), параболата е "отворена нагоре" и функцията има най-малка стойност.
- Ако \(a < 0\), параболата е "отворена надолу" и функцията има най-голяма стойност.
Дадена е функцията \(y = x^2 + 2x - 3\). Тук \(a=1 > 0\), значи параболата е отворена нагоре.
Координатите на върха са:
\(x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\)
\(y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\)
Върхът е точката \(V(-1; -4)\), която е и най-ниската точка на графиката.
Координатите на върха са:
\(x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\)
\(y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\)
Върхът е точката \(V(-1; -4)\), която е и най-ниската точка на графиката.
Намерете координатите на върха на параболата \(y = -2x^2 + 8x - 1\).
\(x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2\)
\(y_v = -2(2)^2 + 8(2) - 1 = -2 \cdot 4 + 16 - 1 = -8 + 16 - 1 = 7\)
Върхът е точката \(V(2; 7)\).
\(y_v = -2(2)^2 + 8(2) - 1 = -2 \cdot 4 + 16 - 1 = -8 + 16 - 1 = 7\)
Върхът е точката \(V(2; 7)\).
За да намерим пресечните точки на графиките на две функции \(f(x)\) и \(g(x)\), решаваме уравнението \(f(x) = g(x)\). Намерените стойности за \(x\) са абсцисите на пресечните точки.
Намерете пресечната точка на \(y_1 = 2x - 1\) и \(y_2 = 5 - x\).
\(2x - 1 = 5 - x\)
\(2x + x = 5 + 1 \implies 3x = 6 \implies x = 2\)
Заместваме \(x=2\) в едно от уравненията: \(y = 2(2) - 1 = 3\).
Пресечната точка е \(M(2; 3)\).
Намерете пресечните точки на \(y = x^2\) и \(y = x + 2\).
Приравняваме: \(x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0\).
Корените на квадратното уравнение са \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -1\).
За \(x_1 = 2\), \(y_1 = 2^2 = 4\). Точка \((2; 4)\).
За \(x_2 = -1\), \(y_2 = (-1)^2 = 1\). Точка \((-1; 1)\).
Графиките се пресичат в две точки.
Корените на квадратното уравнение са \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -1\).
За \(x_1 = 2\), \(y_1 = 2^2 = 4\). Точка \((2; 4)\).
За \(x_2 = -1\), \(y_2 = (-1)^2 = 1\). Точка \((-1; 1)\).
Графиките се пресичат в две точки.
За да намерим НГС/НМС на квадратна функция \(f(x)\) в затворен интервал \([c; d]\), трябва да изчислим стойностите на функцията в краищата на интервала (\(f(c)\) и \(f(d)\)) и стойността във върха (\(f(x_v)\)), ако върхът е в този интервал. След това сравняваме получените стойности.
Да се намери НМС на \(y = x^2 - 2x - 3\) в интервала \([2; 4]\).
Върхът на параболата е при \(x_v = 1\), който е извън интервала \([2; 4]\).
Функцията е растяща в този интервал (тъй като е след върха).
Следователно НМС ще бъде в левия край на интервала:
\(y_{min} = f(2) = 2^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3\).
Върхът на параболата е при \(x_v = 1\), който е извън интервала \([2; 4]\).
Функцията е растяща в този интервал (тъй като е след върха).
Следователно НМС ще бъде в левия край на интервала:
\(y_{min} = f(2) = 2^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3\).
Намерете най-голямата стойност на \(y = -x^2 + 4x\) в интервала \([0; 3]\).
Върхът е при \(x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2\). Тъй като \(2 \in [0; 3]\), той е кандидат за екстремум.
Изчисляваме стойностите:
Изчисляваме стойностите:
- В левия край: \(f(0) = -0^2 + 4(0) = 0\).
- В десния край: \(f(3) = -3^2 + 4(3) = -9 + 12 = 3\).
- Във върха: \(f(2) = -2^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4\).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадена е функцията \(f(x) = 5x - 3\). Намерете стойността на израза \(f(2) + f(-1)\).
\(f(2) = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7\)
\(f(-1) = 5(-1) - 3 = -5 - 3 = -8\)
\(f(2) + f(-1) = 7 + (-8) = -1\).
\(f(-1) = 5(-1) - 3 = -5 - 3 = -8\)
\(f(2) + f(-1) = 7 + (-8) = -1\).
Средна: Намерете координатите на пресечната точка на графиките на функциите \(f(x) = 3x + 7\) и \(g(x) = 15 - x\).
Приравняваме: \(3x + 7 = 15 - x\).
\(4x = 8 \implies x = 2\).
Заместваме \(x=2\) в \(f(x)\): \(y = 3(2) + 7 = 6 + 7 = 13\).
Пресечната точка е \((2; 13)\).
\(4x = 8 \implies x = 2\).
Заместваме \(x=2\) в \(f(x)\): \(y = 3(2) + 7 = 6 + 7 = 13\).
Пресечната точка е \((2; 13)\).
Трудна: Намерете лицето на триъгълника, образуван от графиката на функцията \(y = -2x + 8\) и координатните оси.
1. Намираме пресечната точка с оста \(Oy\) (при \(x=0\)):
\(y = -2(0) + 8 = 8\). Точка \(A(0; 8)\).
2. Намираме пресечната точка с оста \(Ox\) (при \(y=0\)):
\(0 = -2x + 8 \implies 2x = 8 \implies x = 4\). Точка \(B(4; 0)\).
3. Образува се правоъгълен триъгълник с катети по осите с дължини 8 и 4.
Лицето е \(S = \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16\) кв. ед.
\(y = -2(0) + 8 = 8\). Точка \(A(0; 8)\).
2. Намираме пресечната точка с оста \(Ox\) (при \(y=0\)):
\(0 = -2x + 8 \implies 2x = 8 \implies x = 4\). Точка \(B(4; 0)\).
3. Образува се правоъгълен триъгълник с катети по осите с дължини 8 и 4.
Лицето е \(S = \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16\) кв. ед.
