Най-важното от урока
Синусова теорема: Основен инструмент за решаване на произволен триъгълник. Свързва страните със синусите на срещулежащите им ъгли: \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\).
Задача тип 1 (страна и два ъгъла): 1. Намираш третия ъгъл (сбора им е 180°). 2. С два пъти Синусова теорема намираш другите две страни.
Задача тип 2 (две страни и ъгъл срещу по-голямата): 1. Със Синусова теорема намираш втория ъгъл. 2. Намираш третия ъгъл. 3. Със Синусова теорема намираш третата страна.
Задача тип 1 (страна и два ъгъла): 1. Намираш третия ъгъл (сбора им е 180°). 2. С два пъти Синусова теорема намираш другите две страни.
Задача тип 2 (две страни и ъгъл срещу по-голямата): 1. Със Синусова теорема намираш втория ъгъл. 2. Намираш третия ъгъл. 3. Със Синусова теорема намираш третата страна.
"Да решиш триъгълник" означава да намериш неизвестните му три основни елемента (страни и ъгли), когато са дадени други три, от които поне един е страна.
Ако за \(\triangle ABC\) са дадени страната \(c\) и ъглите \(\alpha\) и \(\beta\), "решаването" му означава да намерим дължините на страните \(a\) и \(b\) и мярката на ъгъл \(\gamma\).
В \(\triangle ABC\) са дадени \(a=10\), \(b=12\), \(c=15\). Какво означава да решим триъгълника?
Отговор: Означава да намерим мерките на трите ъгъла \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\).
Във всеки триъгълник отношението на коя да е страна към синуса на срещулежащия ѝ ъгъл е една и съща константа.
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]
Ако в \(\triangle ABC\) са дадени \(a=8\), \(\alpha=30^\circ\) и \(\beta=45^\circ\), можем да намерим страната \(b\) чрез равенството:
\[ \frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \]
В \(\triangle ABC\) са дадени страните \(b=10\), \(c=14\) и ъгъл \(\gamma=60^\circ\). Напишете равенството от Синусовата теорема, с което ще намерите \(\sin \beta\).
Отговор: \(\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow \frac{10}{\sin \beta} = \frac{14}{\sin 60^\circ}\).
Когато са дадени една страна и два ъгъла (например c, \(\alpha\), \(\beta\)), триъгълникът се решава в следната последователност:
Използва се свойството, че сборът на ъглите в триъгълник е \(180^\circ\): \(\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)\).
Прилага се Синусовата теорема два пъти, за да се намерят останалите две страни: \(a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma}\) и \(b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma}\).
Дадено: \(c = 9,4 \text{ cm}\), \(\alpha = 47^\circ\), \(\beta = 63^\circ\).
1. \(\gamma = 180^\circ - (47^\circ + 63^\circ) = 70^\circ\).
2. \(a = \frac{9,4 \sin 47^\circ}{\sin 70^\circ} \approx \frac{9,4 \cdot 0,731}{0,940} \approx 7,31 \text{ cm}\).
3. \(b = \frac{9,4 \sin 63^\circ}{\sin 70^\circ} \approx \frac{9,4 \cdot 0,891}{0,940} \approx 8,91 \text{ cm}\).
1. \(\gamma = 180^\circ - (47^\circ + 63^\circ) = 70^\circ\).
2. \(a = \frac{9,4 \sin 47^\circ}{\sin 70^\circ} \approx \frac{9,4 \cdot 0,731}{0,940} \approx 7,31 \text{ cm}\).
3. \(b = \frac{9,4 \sin 63^\circ}{\sin 70^\circ} \approx \frac{9,4 \cdot 0,891}{0,940} \approx 8,91 \text{ cm}\).
В \(\triangle ABC\) са дадени \(a = 20\), \(\beta = 40^\circ\), \(\gamma = 60^\circ\). Намерете ъгъл \(\alpha\).
Отговор: \(\alpha = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 80^\circ\).
Когато са дадени две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях (например a, b, \(\alpha\), където \(a > b\)), задачата има едно решение и се решава в следната последователност:
От Синусовата теорема се намира синусът на ъгъла срещу втората страна: \(\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}\). Тъй като \(b < a\), то \(\beta < \alpha\) и ъгъл \(\beta\) е задължително остър.
\(\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)\).
Отново със Синусовата теорема: \(c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}\).
Дадено: \(a = 28,25\), \(b = 25,89\), \(\alpha = 62^\circ\). (Тук \(a>b\)).
1. \(\sin \beta = \frac{25,89 \sin 62^\circ}{28,25} \approx 0,812 \Rightarrow \beta \approx 54^\circ\).
2. \(\gamma = 180^\circ - (62^\circ + 54^\circ) = 64^\circ\).
3. \(c = \frac{28,25 \sin 64^\circ}{\sin 62^\circ} \approx 28,76 \text{ cm}\).
1. \(\sin \beta = \frac{25,89 \sin 62^\circ}{28,25} \approx 0,812 \Rightarrow \beta \approx 54^\circ\).
2. \(\gamma = 180^\circ - (62^\circ + 54^\circ) = 64^\circ\).
3. \(c = \frac{28,25 \sin 64^\circ}{\sin 62^\circ} \approx 28,76 \text{ cm}\).
Дадени са \(b=15\), \(c=12\), \(\beta=50^\circ\). Кой елемент намираме първо и с коя формула?
Отговор: Първо намираме ъгъл \(\gamma\) чрез \(\sin \gamma = \frac{c \sin \beta}{b}\).
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\triangle ABC\) са дадени \(a=10 \text{ cm}\), \(\alpha=30^\circ\) и \(\beta=45^\circ\). Намерете дължината на страната \(b\).
Прилагаме Синусова теорема: \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\).
\[ \frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \Rightarrow b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14,14 \text{ cm} \]
Отговор: \(b \approx 14,14 \text{ cm}\).
Средна: Решете \(\triangle ABC\), ако са дадени \(c=15 \text{ cm}\), \(\alpha=40^\circ\) и \(\beta=80^\circ\).
1. Намираме \(\gamma\): \(\gamma = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 60^\circ\).
2. Намираме \(a\): \(a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{15 \sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{15 \cdot 0,643}{0,866} \approx 11,14 \text{ cm}\).
3. Намираме \(b\): \(b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{15 \sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{15 \cdot 0,985}{0,866} \approx 17,06 \text{ cm}\).
Отговор: \(\gamma=60^\circ\), \(a \approx 11,14 \text{ cm}\), \(b \approx 17,06 \text{ cm}\).
2. Намираме \(a\): \(a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{15 \sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{15 \cdot 0,643}{0,866} \approx 11,14 \text{ cm}\).
3. Намираме \(b\): \(b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{15 \sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{15 \cdot 0,985}{0,866} \approx 17,06 \text{ cm}\).
Отговор: \(\gamma=60^\circ\), \(a \approx 11,14 \text{ cm}\), \(b \approx 17,06 \text{ cm}\).
Трудна: В \(\triangle ABC\) са дадени страните \(b=20 \text{ cm}\), \(c=15 \text{ cm}\) и ъгъл \(\beta=55^\circ\). Намерете останалите ъгли и третата страна на триъгълника.
Тъй като е даден ъгъл срещу по-голямата страна (\(b>c\)), задачата има едно решение.
1. Намираме \(\gamma\): \(\sin \gamma = \frac{c \sin \beta}{b} = \frac{15 \sin 55^\circ}{20} \approx \frac{15 \cdot 0,819}{20} \approx 0,614\).
Оттук \(\gamma \approx 37,9^\circ \approx 38^\circ\).
2. Намираме \(\alpha\): \(\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma) \approx 180^\circ - (55^\circ + 38^\circ) = 87^\circ\).
3. Намираме \(a\): \(a = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta} \approx \frac{20 \sin 87^\circ}{\sin 55^\circ} \approx \frac{20 \cdot 0,999}{0,819} \approx 24,4 \text{ cm}\).
Отговор: \(\gamma \approx 38^\circ\), \(\alpha \approx 87^\circ\), \(a \approx 24,4 \text{ cm}\).
1. Намираме \(\gamma\): \(\sin \gamma = \frac{c \sin \beta}{b} = \frac{15 \sin 55^\circ}{20} \approx \frac{15 \cdot 0,819}{20} \approx 0,614\).
Оттук \(\gamma \approx 37,9^\circ \approx 38^\circ\).
2. Намираме \(\alpha\): \(\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma) \approx 180^\circ - (55^\circ + 38^\circ) = 87^\circ\).
3. Намираме \(a\): \(a = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta} \approx \frac{20 \sin 87^\circ}{\sin 55^\circ} \approx \frac{20 \cdot 0,999}{0,819} \approx 24,4 \text{ cm}\).
Отговор: \(\gamma \approx 38^\circ\), \(\alpha \approx 87^\circ\), \(a \approx 24,4 \text{ cm}\).
