Най-важното от урока
Универсална формула: Всички задачи (кредит, рента, лизинг) се решават с една и съща формула за анюитетни плащания: \( V = K \cdot q^n \frac{q - 1}{q^n - 1} \).
Ключови променливи: \(K\) е началната сума (кредит, капитал), \(V\) е периодичната вноска, \(n\) е броят периоди, а \(q = 1 + p/100\).
Приложения:
Ключови променливи: \(K\) е началната сума (кредит, капитал), \(V\) е периодичната вноска, \(n\) е броят периоди, а \(q = 1 + p/100\).
Приложения:
- Кредит: Изчислявате вноската \(V\) по заем \(K\).
- Лизинг: Същото като кредит, но \(K\) е цената минус първоначалната вноска.
- Рента: Изчислявате периодичния доход \(V\) от капитал \(K\).
Когато се изтегли кредит \(K\) за \(n\) периода при лихвен процент \(p\), той се погасява с равни вноски \(V\). Формулата по-долу позволява да се изчисли размерът на тази вноска.
\[ V = K \cdot q^n \frac{q - 1}{q^n - 1} \]
където \(V\) е погасителната вноска, \(K\) е размерът на кредита, \(n\) е броят на периодите (вноските), а \(q = 1 + \frac{p}{100}\) е лихвеният множител.
Фирма тегли кредит от 100 000 лв. за 10 години при 5% годишна лихва.
Тук \(K = 100~000\), \(n = 10\), \(p = 5\%\), следователно \(q = 1,05\).
Годишната погасителна вноска \(V\) ще бъде: \[ V = 100~000 \cdot 1,05^{10} \frac{1,05 - 1}{1,05^{10} - 1} \approx 12~950 \text{ лв.} \]
Тук \(K = 100~000\), \(n = 10\), \(p = 5\%\), следователно \(q = 1,05\).
Годишната погасителна вноска \(V\) ще бъде: \[ V = 100~000 \cdot 1,05^{10} \frac{1,05 - 1}{1,05^{10} - 1} \approx 12~950 \text{ лв.} \]
Какъв кредит може да бъде погасен за 5 години с годишни вноски от 2000 лв. при 4% годишна лихва?
Дадено е \(V = 2000\), \(n = 5\), \(p = 4\%\), \(q = 1,04\). Търсим \(K\).
Преобразуваме формулата: \( K = V \frac{q^n - 1}{q^n(q-1)} \).
\[ K = 2000 \frac{1,04^5 - 1}{1,04^5(1,04-1)} \approx 2000 \frac{0,21665}{1,21665 \cdot 0,04} \approx 8980,24 \text{ лв.} \] Отговор: Може да бъде погасен кредит от приблизително 8980 лв.
Преобразуваме формулата: \( K = V \frac{q^n - 1}{q^n(q-1)} \).
\[ K = 2000 \frac{1,04^5 - 1}{1,04^5(1,04-1)} \approx 2000 \frac{0,21665}{1,21665 \cdot 0,04} \approx 8980,24 \text{ лв.} \] Отговор: Може да бъде погасен кредит от приблизително 8980 лв.
Рента (\(R\)) е периодично получавана сума срещу вложен капитал (\(K\)) при определена лихва. Изчислява се по същата формула като погасителна вноска по кредит.
\[ R = K \cdot q^n \frac{q - 1}{q^n - 1} \]
където \(R\) е рентата, \(K\) е вложеният капитал, \(n\) е броят на периодите, а \(q = 1 + \frac{p}{100}\).
Капитал от 50 000 лв. е вложен за 5 години при 4,5% годишна лихва.
Тук \(K = 50~000\), \(n = 5\), \(p = 4,5\%\), \(q = 1,045\).
Годишната рента \(R\) ще бъде: \[ R = 50~000 \cdot 1,045^5 \frac{1,045 - 1}{1,045^5 - 1} \approx 11~396 \text{ лв.} \]
Тук \(K = 50~000\), \(n = 5\), \(p = 4,5\%\), \(q = 1,045\).
Годишната рента \(R\) ще бъде: \[ R = 50~000 \cdot 1,045^5 \frac{1,045 - 1}{1,045^5 - 1} \approx 11~396 \text{ лв.} \]
Какъв капитал трябва да се вложи при 3% годишна лихва, за да се получава годишна рента от 5000 лв. в продължение на 10 години?
Дадено е \(R = 5000\), \(n = 10\), \(p = 3\%\), \(q = 1,03\). Търсим \(K\).
\[ K = 5000 \frac{1,03^{10} - 1}{1,03^{10}(1,03-1)} \approx 5000 \frac{0,3439}{1,3439 \cdot 0,03} \approx 42651 \text{ лв.} \] Отговор: Трябва да се вложи капитал от приблизително 42 651 лв.
\[ K = 5000 \frac{1,03^{10} - 1}{1,03^{10}(1,03-1)} \approx 5000 \frac{0,3439}{1,3439 \cdot 0,03} \approx 42651 \text{ лв.} \] Отговор: Трябва да се вложи капитал от приблизително 42 651 лв.
Лизингът е вид кредит, при който се прави първоначална вноска, а остатъкът се погасява на равни вноски. Сумата на кредита \(K\) е равна на цената на стоката минус първоначалната вноска.
Лихвеният процент \(p\) и броят на периодите \(n\) трябва да съответстват на периода на вноската (напр. ако вноските са месечни, лихвата трябва да е месечна).
Телевизор струва 1200 лв. Купува се на лизинг с първоначална вноска 200 лв. за 12 месеца при 6% годишна лихва.
1. Сума за финансиране: \(K = 1200 - 200 = 1000\) лв.
2. Периоди: \(n = 12\) месеца.
3. Месечна лихва: Годишната лихва е 6%, следователно месечната е \(p = 6\% / 12 = 0,5\%\). Лихвеният множител е \(q = 1,005\).
Месечната вноска \(V\) е: \[ V = 1000 \cdot 1,005^{12} \frac{1,005 - 1}{1,005^{12} - 1} \approx 86,07 \text{ лв.} \]
1. Сума за финансиране: \(K = 1200 - 200 = 1000\) лв.
2. Периоди: \(n = 12\) месеца.
3. Месечна лихва: Годишната лихва е 6%, следователно месечната е \(p = 6\% / 12 = 0,5\%\). Лихвеният множител е \(q = 1,005\).
Месечната вноска \(V\) е: \[ V = 1000 \cdot 1,005^{12} \frac{1,005 - 1}{1,005^{12} - 1} \approx 86,07 \text{ лв.} \]
Автомобил струва 30 000 лв. Купува се на лизинг с първоначална вноска 5 000 лв. и срок 5 години. Годишният лихвен процент е 4,8%. Намерете месечната вноска.
1. Сума за финансиране: \(K = 30~000 - 5~000 = 25~000\) лв.
2. Периоди: \(n = 5 \cdot 12 = 60\) месеца.
3. Месечна лихва: \(p = 4,8\% / 12 = 0,4\%\), \(q = 1,004\).
\[ V = 25~000 \cdot 1,004^{60} \frac{1,004-1}{1,004^{60}-1} \approx 469,25 \text{ лв.} \] Отговор: Месечната вноска е приблизително 469,25 лв.
2. Периоди: \(n = 5 \cdot 12 = 60\) месеца.
3. Месечна лихва: \(p = 4,8\% / 12 = 0,4\%\), \(q = 1,004\).
\[ V = 25~000 \cdot 1,004^{60} \frac{1,004-1}{1,004^{60}-1} \approx 469,25 \text{ лв.} \] Отговор: Месечната вноска е приблизително 469,25 лв.
Задачи за упражнение
Лесна: Фирма взима кредит от 20 000 лв. за 4 години при 6% годишна лихва. Намерете годишната погасителна вноска.
Дадено е \(K=20~000\), \(n=4\), \(p=6\%\), \(q=1,06\).
\[ V = 20~000 \cdot 1,06^4 \frac{1,06-1}{1,06^4-1} \approx 5761,93 \text{ лв.} \] Отговор: Годишната вноска е 5761,93 лв.
\[ V = 20~000 \cdot 1,06^4 \frac{1,06-1}{1,06^4-1} \approx 5761,93 \text{ лв.} \] Отговор: Годишната вноска е 5761,93 лв.
Средна: Телефон на стойност 1500 лв. се купува на лизинг без първоначална вноска за 18 месеца при 12% годишна лихва. Каква е месечната вноска?
\(K = 1500\) лв., \(n = 18\) месеца.
Месечната лихва е \(p = 12\% / 12 = 1\%\), следователно \(q=1,01\).
\[ V = 1500 \cdot 1,01^{18} \frac{1,01-1}{1,01^{18}-1} \approx 91,33 \text{ лв.} \] Отговор: Месечната вноска е 91,33 лв.
Месечната лихва е \(p = 12\% / 12 = 1\%\), следователно \(q=1,01\).
\[ V = 1500 \cdot 1,01^{18} \frac{1,01-1}{1,01^{18}-1} \approx 91,33 \text{ лв.} \] Отговор: Месечната вноска е 91,33 лв.
Трудна: Семейство може да си позволи да плаща месечна вноска от 800 лв. по кредит за жилище. Ако банката предлага 30-годишен кредит при 3,6% годишна лихва, каква е максималната сума на кредита, която могат да изтеглят?
\(V=800\) лв.
\(n = 30 \text{ години} \cdot 12 \text{ месеца/година} = 360\) месеца.
Месечната лихва е \(p = 3,6\% / 12 = 0,3\%\), следователно \(q=1,003\).
Търсим \(K\).
\[ K = V \frac{q^n - 1}{q^n(q-1)} = 800 \frac{1,003^{360} - 1}{1,003^{360}(1,003-1)} \approx 174~514 \text{ лв.} \] Отговор: Максималната сума на кредита е приблизително 174 514 лв.
\(n = 30 \text{ години} \cdot 12 \text{ месеца/година} = 360\) месеца.
Месечната лихва е \(p = 3,6\% / 12 = 0,3\%\), следователно \(q=1,003\).
Търсим \(K\).
\[ K = V \frac{q^n - 1}{q^n(q-1)} = 800 \frac{1,003^{360} - 1}{1,003^{360}(1,003-1)} \approx 174~514 \text{ лв.} \] Отговор: Максималната сума на кредита е приблизително 174 514 лв.
