Най-важното от урока
Определения в правоъгълен триъгълник: \( \sin = \frac{\text{срещулежащ}}{\text{хипотенуза}} \), \( \cos = \frac{\text{прилежащ}}{\text{хипотенуза}} \), \( \operatorname{tg} = \frac{\text{срещулежащ}}{\text{прилежащ}} \).
Основно тъждество: Винаги е вярно, че \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Връзка между функциите: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
Ъгли над 90°: Използвайте редукционни формули, за да ги сведете до остри ъгли. Например: \( \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -0.5 \).
Основно тъждество: Винаги е вярно, че \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Връзка между функциите: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
Ъгли над 90°: Използвайте редукционни формули, за да ги сведете до остри ъгли. Например: \( \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -0.5 \).
В правоъгълен триъгълник тригонометричните функции на остър ъгъл \(\alpha\) се дефинират като отношения между дължините на страните му.
- \( \sin \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} \)
- \( \cos \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} \)
- \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{a}{b} \)
- \( \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{срещулежащ катет}} = \frac{b}{a} \)
В правоъгълен триъгълник с катети \(a=3\) cm и \(b=4\) cm, хипотенузата \(c\) е \(5\) cm (от Питагорова теорема). За ъгъла \(\alpha\) срещу катета \(a\), имаме:
\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \), \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4} \).
\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \), \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4} \).
Даден е правоъгълен триъгълник с прилежащ катет \(b=12\) и хипотенуза \(c=13\). Намерете \( \operatorname{tg} \alpha \).
Първо намираме срещулежащия катет \(a\) с Питагорова теорема: \(a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\).
Тогава \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{12} \).
Тогава \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{12} \).
За ъгъл \(\alpha\) между 0° и 180°, стойностите на тригонометричните функции се определят от координатите \((x, y)\) на точка M върху единичната окръжност (\(R=1\)), където рамото на ъгъла пресича окръжността.
\[ \sin \alpha = y \]
\[ \cos \alpha = x \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x} \]
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{x}{y} \]
От това определение следва, че за ъгли \(\alpha \in (90^\circ, 180^\circ)\) (във II квадрант), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{cotg} \alpha \) са отрицателни, а \( \sin \alpha \) е положителен.
Намерете стойностите на тригонометричните функции за ъгъл \(\alpha = 180^\circ\).
При \(\alpha = 180^\circ\), точката M има координати \((-1, 0)\).
Следователно: \( \sin 180^\circ = y = 0 \), \( \cos 180^\circ = x = -1 \), \( \operatorname{tg} 180^\circ = \frac{0}{-1} = 0 \), а \( \operatorname{cotg} 180^\circ \) не е дефиниран (деление на 0).
Следователно: \( \sin 180^\circ = y = 0 \), \( \cos 180^\circ = x = -1 \), \( \operatorname{tg} 180^\circ = \frac{0}{-1} = 0 \), а \( \operatorname{cotg} 180^\circ \) не е дефиниран (деление на 0).
Това са равенства, които са верни за всички допустими стойности на ъгъла \(\alpha\). Те позволяват да намерим стойностите на всички тригонометрични функции, ако знаем само една от тях и квадранта на ъгъла.
Основно тригонометрично тъждество:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Други важни зависимости:
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \alpha = 1 \]
Ако \( \sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) и \( \alpha \in (90^\circ, 180^\circ) \), можем да намерим \( \cos \alpha \):
\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \).
\( \cos \alpha = \pm \frac{1}{3} \). Тъй като \(\alpha\) е във II квадрант, \( \cos \alpha \) е отрицателен, следователно \( \cos \alpha = -\frac{1}{3} \).
\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \).
\( \cos \alpha = \pm \frac{1}{3} \). Тъй като \(\alpha\) е във II квадрант, \( \cos \alpha \) е отрицателен, следователно \( \cos \alpha = -\frac{1}{3} \).
Ако \( \operatorname{tg} \alpha = -3 \), намерете стойността на израза \( A = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} \).
Разделяме числителя и знаменателя на \( \cos \alpha \):
\( A = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} \).
Заместваме с \( \operatorname{tg} \alpha = -3 \):
\( A = \frac{-3}{1 - (-3)} = \frac{-3}{4} \).
\( A = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} \).
Заместваме с \( \operatorname{tg} \alpha = -3 \):
\( A = \frac{-3}{1 - (-3)} = \frac{-3}{4} \).
Тези формули свеждат тригонометричните функции на ъгли като \( 90^\circ \pm \alpha \) и \( 180^\circ - \alpha \) до функции на остър ъгъл \(\alpha\).
Някои от най-често използваните формули:
- \( \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \)
- \( \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \)
- \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \)
- \( \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha \)
- \( \sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha \)
- \( \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha \)
За да намерим \( \sin 150^\circ \), използваме формулата за \( 180^\circ - \alpha \):
\( \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
\( \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
Опростете израза: \( \frac{\sin(90^\circ + \alpha)}{\cos(180^\circ - \alpha)} \).
Прилагаме редукционните формули:
\( \sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha \)
\( \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \)
Изразът става: \( \frac{\cos \alpha}{-\cos \alpha} = -1 \).
\( \sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha \)
\( \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \)
Изразът става: \( \frac{\cos \alpha}{-\cos \alpha} = -1 \).
Задачи за упражнение
Лесна: Изчислете стойността на израза \( A = 2\sin 60^\circ - 4\cos 30^\circ \).
Използваме стойностите от таблицата: \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( A = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -\sqrt{3} \).
\( A = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -\sqrt{3} \).
Средна: Ако \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) и \( \alpha \in (90^\circ, 180^\circ) \), намерете \( \sin \alpha \) и \( \operatorname{tg} \alpha \).
1. Намираме \( \sin \alpha \) от \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\( \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \).
\( \sin \alpha = \pm \frac{3}{5} \). Тъй като \(\alpha\) е във II квадрант, \( \sin \alpha > 0 \), следователно \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \).
2. Намираме \( \operatorname{tg} \alpha \):
\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} \).
\( \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \).
\( \sin \alpha = \pm \frac{3}{5} \). Тъй като \(\alpha\) е във II квадрант, \( \sin \alpha > 0 \), следователно \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \).
2. Намираме \( \operatorname{tg} \alpha \):
\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} \).
Трудна: В правоъгълен триъгълник \( \triangle ABC \) (\( \angle C = 90^\circ \)) височината към хипотенузата \( CD = 12 \) cm, а проекцията на единия катет върху хипотенузата е \( AD = 16 \) cm. Намерете тангенса на \( \angle ABC \).
Търсим \( \operatorname{tg}(\angle ABC) \). От \( \triangle ABC \), знаем че \( \angle ABC = 90^\circ - \angle BAC \).
В правоъгълния \( \triangle ADC \), \( \angle ACD = 90^\circ - \angle CAD = \angle ABC \).
Следователно, \( \operatorname{tg}(\angle ABC) = \operatorname{tg}(\angle ACD) \).
В правоъгълния \( \triangle ADC \), \( \operatorname{tg}(\angle ACD) = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{AD}{CD} \).
\( \operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \).
В правоъгълния \( \triangle ADC \), \( \angle ACD = 90^\circ - \angle CAD = \angle ABC \).
Следователно, \( \operatorname{tg}(\angle ABC) = \operatorname{tg}(\angle ACD) \).
В правоъгълния \( \triangle ADC \), \( \operatorname{tg}(\angle ACD) = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{AD}{CD} \).
\( \operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \).
