Най-важното от урока
Проста лихва: Лихвата се начислява само върху първоначалната сума. Нарастването е линейно (аритметична прогресия).
Формула: \( K_n = K_0 (1 + np/100) \). Пример: 100 лв. за 2 г. при 10% \(\to\) 120 лв.
Сложна лихва: Лихвата се добавя към капитала и сама започва да носи лихва. Нарастването е експоненциално (геометрична прогресия).
Формула: \( K_n = K_0 \cdot q^n \). Пример: 100 лв. за 2 г. при 10% \(\to\) 100 \(\cdot\) (1.1)\(^2\) = 121 лв.
Формула: \( K_n = K_0 (1 + np/100) \). Пример: 100 лв. за 2 г. при 10% \(\to\) 120 лв.
Сложна лихва: Лихвата се добавя към капитала и сама започва да носи лихва. Нарастването е експоненциално (геометрична прогресия).
Формула: \( K_n = K_0 \cdot q^n \). Пример: 100 лв. за 2 г. при 10% \(\to\) 100 \(\cdot\) (1.1)\(^2\) = 121 лв.
Лихвата се нарича проста, когато в края на всеки период се олихвява само началният (основният) капитал. Натрупаната лихва не носи лихва.
\[ K_n = K_0 \left(1 + \frac{np}{100}\right) \]
\(K_n\) - нараснал капитал, \(K_0\) - начален капитал, \(p\) - лихвен процент, \(n\) - брой периоди.
Сумите в края на всеки период (\(K_1, K_2, \ldots, K_n\)) образуват аритметична прогресия.
Ако вложите 1000 лв. (\(K_0\)) за 3 години (\(n\)) при 5% (\(p\)) проста годишна лихва, сумата ще стане:
\[ K_3 = 1000 \left(1 + \frac{3 \cdot 5}{100}\right) = 1000 \left(1 + \frac{15}{100}\right) = 1000 \cdot 1.15 = 1150 \text{ лв.} \]
Фирма взима заем от 10 000 лв. при 8% проста годишна лихва за 5 години. Каква сума трябва да върне?
\(K_0 = 10\ 000\), \(p = 8\), \(n = 5\).
\[ K_5 = 10\ 000 \left(1 + \frac{5 \cdot 8}{100}\right) = 10\ 000 (1 + 0.40) = 14\ 000 \text{ лв.} \]
Лихвата се нарича сложна, когато в края на всеки лихвен период тя се прибавя към капитала (капитализира се) и в следващите периоди се олихвява заедно с него.
\[ K_n = K_0 \cdot q^n, \quad \text{където } q = 1 + \frac{p}{100} \]
\(K_n\) - нараснал капитал, \(K_0\) - начален капитал, \(p\) - лихвен процент, \(n\) - брой периоди, \(q\) - лихвен множител.
Сумите в края на всеки период (\(K_0, K_1, \ldots, K_n\)) образуват геометрична прогресия.
Ако вложите 1000 лв. (\(K_0\)) за 3 години (\(n\)) при 5% (\(p\)) сложна годишна лихва, лихвеният множител е \(q = 1 + \frac{5}{100} = 1.05\). Сумата ще стане:
\[ K_3 = 1000 \cdot (1.05)^3 = 1000 \cdot 1.157625 \approx 1157.63 \text{ лв.} \]
Депозит от 20 000 лв. е вложен при 4% сложна годишна лихва. На колко ще нарасне след 2 години?
\(K_0 = 20\ 000\), \(p = 4\), \(n = 2\). Лихвеният множител е \(q = 1 + \frac{4}{100} = 1.04\).
\[ K_2 = 20\ 000 \cdot (1.04)^2 = 20\ 000 \cdot 1.0816 = 21\ 632 \text{ лв.} \]
Формулите за проста и сложна лихва могат да се използват за намиране на всяка от величините (\(K_0, p, n\)), ако останалите са известни. Това става чрез решаване на съответното уравнение.
Депозит от 12 000 лв. (\(K_0\)) е вложен при проста годишна лихва. След 5 години (\(n\)) е нараснал на 13 800 лв. (\(K_n\)). Намерете лихвения процент (\(p\)).
\[ 13\ 800 = 12\ 000 \left(1 + \frac{5 \cdot p}{100}\right) \]
\[ \frac{13\ 800}{12\ 000} = 1 + \frac{p}{20} \implies 1.15 = 1 + \frac{p}{20} \implies 0.15 = \frac{p}{20} \implies p = 3\% \]
След колко време сума от 8 000 лв., вложена при 2.5% сложна годишна лихва, ще нарасне на 8 405 лв.?
\(K_0 = 8\ 000\), \(K_n = 8\ 405\), \(p=2.5\), \(q = 1.025\).
\[ 8405 = 8000 \cdot (1.025)^n \implies (1.025)^n = \frac{8405}{8000} = 1.050625 \]
Тъй като \((1.025)^2 = 1.050625\), следва, че \(n=2\) години.
Задачи за упражнение
Лесна: Вложен е депозит от 5000 лв. за 4 години при 3% проста годишна лихва. Каква ще бъде натрупаната сума?
Използваме формулата за проста лихва:
\[ K_4 = 5000 \left(1 + \frac{4 \cdot 3}{100}\right) = 5000(1 + 0.12) = 5000 \cdot 1.12 = 5600 \text{ лв.} \]
Отговор: 5600 лв.
Средна: Каква сума трябва да се внесе в банка при 4.5% сложна годишна лихва, така че след 10 години да нарасне на 5000 лв.? (Приемете, че \( (1.045)^{10} \approx 1.553 \))
Търсим началния капитал \(K_0\). Знаем \(K_{10} = 5000\), \(n=10\), \(p=4.5\), \(q=1.045\).
\[ K_{10} = K_0 \cdot q^{10} \implies 5000 = K_0 \cdot (1.045)^{10} \]
\[ K_0 = \frac{5000}{(1.045)^{10}} \approx \frac{5000}{1.553} \approx 3219.57 \text{ лв.} \]
Отговор: Около 3220 лв.
Трудна: След колко години сума, вложена при 10% сложна годишна лихва, ще се удвои? (Приемете, че \( (1.1)^7 \approx 1.949 \) и \( (1.1)^8 \approx 2.144 \))
Търсим \(n\), за което \(K_n = 2K_0\). Лихвеният множител е \(q = 1 + \frac{10}{100} = 1.1\).
\[ 2K_0 = K_0 \cdot (1.1)^n \implies (1.1)^n = 2 \]
От дадените стойности виждаме, че \( (1.1)^7 < 2 \) и \( (1.1)^8 > 2 \). Най-близката цяла година, след която сумата ще се е удвоила, е 8.
Отговор: След 8 години.
