Най-важното от урока
Подобни триъгълници (\(\sim\)): Имат равни ъгли и пропорционални страни. Отношението на лицата им е \(k^2\), а на всички останали линейни елементи е \(k\).
Свойство на ъглополовящата: Ако CL е ъглополовяща, то \(\frac{AL}{BL} = \frac{AC}{BC}\).
Правоъгълен \(\triangle\): Запомни Питагоровата теорема (\(a^2+b^2=c^2\)) и метричните зависимости за височината (\(h_c^2 = a_1 b_1\)) и катетите (\(a^2=a_1c\)).
Окръжност: За пресичащи се хорди AB и CD в точка M е вярно \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\). За допирателна MT и секуща MAB от външна точка M е вярно \(MT^2 = MA \cdot MB\).
Свойство на ъглополовящата: Ако CL е ъглополовяща, то \(\frac{AL}{BL} = \frac{AC}{BC}\).
Правоъгълен \(\triangle\): Запомни Питагоровата теорема (\(a^2+b^2=c^2\)) и метричните зависимости за височината (\(h_c^2 = a_1 b_1\)) и катетите (\(a^2=a_1c\)).
Окръжност: За пресичащи се хорди AB и CD в точка M е вярно \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\). За допирателна MT и секуща MAB от външна точка M е вярно \(MT^2 = MA \cdot MB\).
Два триъгълника са подобни (\(\sim\)), ако ъглите им са съответно равни, а страните им – съответно пропорционални. Подобността може да се докаже чрез един от трите признака:
- I признак (два ъгъла): Ако два ъгъла от един триъгълник са съответно равни на два ъгъла от друг триъгълник.
- II признак (две страни и ъгъл между тях): Ако две страни от един триъгълник са пропорционални на две страни от друг и ъглите между тях са равни.
- III признак (три страни): Ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на друг.
Дадени са \(\triangle ABC\) с \(\angle A = 40^\circ, \angle B = 80^\circ\) и \(\triangle MNP\) с \(\angle M = 40^\circ, \angle P = 60^\circ\).
Намираме \(\angle C = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 60^\circ\).
Тъй като \(\angle A = \angle M = 40^\circ\) и \(\angle C = \angle P = 60^\circ\), то \(\triangle ABC \sim \triangle MNP\) по I признак.
Намираме \(\angle C = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 60^\circ\).
Тъй като \(\angle A = \angle M = 40^\circ\) и \(\angle C = \angle P = 60^\circ\), то \(\triangle ABC \sim \triangle MNP\) по I признак.
Дадено е, че \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\). Ако \(AB=6, BC=9, PQ=4\), колко е дължината на страната \(QR\)?
От подобието следва пропорционалност на страните: \(\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}\).
\(\frac{6}{4} = \frac{9}{QR} \Rightarrow QR = \frac{9 \cdot 4}{6} = 6\).
Отговор: \(QR=6\).
\(\frac{6}{4} = \frac{9}{QR} \Rightarrow QR = \frac{9 \cdot 4}{6} = 6\).
Отговор: \(QR=6\).
Ако \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) с коефициент на подобие \(k\), то съществуват следните зависимости между техните елементи:
\[ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k \]
Отношението на съответните страни е равно на коефициента на подобие.
\[ \frac{P}{P_1} = \frac{h_a}{h_{a_1}} = \frac{m_a}{m_{a_1}} = \frac{l_a}{l_{a_1}} = \frac{R}{R_1} = \frac{r}{r_1} = k \]
Отношението на периметрите, височините, медианите, ъглополовящите и радиусите на вписаните и описани окръжности е равно на коефициента на подобие.
\[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \]
Отношението на лицата е равно на квадрата на коефициента на подобие.
\(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Ако \(AB=10\) cm, \(A_1B_1=5\) cm и \(S_{ABC}=24\) cm\(^2\), то коефициентът на подобие е \(k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{10}{5} = 2\).
За лицето имаме \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \Rightarrow \frac{24}{S_{A_1B_1C_1}} = 2^2 = 4 \Rightarrow S_{A_1B_1C_1} = \frac{24}{4} = 6\) cm\(^2\).
За лицето имаме \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \Rightarrow \frac{24}{S_{A_1B_1C_1}} = 2^2 = 4 \Rightarrow S_{A_1B_1C_1} = \frac{24}{4} = 6\) cm\(^2\).
Отношението на периметрите на два подобни триъгълника е 3:1. Какво е отношението на лицата им?
Отношението на периметрите е равно на коефициента на подобие \(k\). Следователно \(k=3\).
Отношението на лицата е \(k^2 = 3^2 = 9\).
Отговор: 9:1.
Отношението на лицата е \(k^2 = 3^2 = 9\).
Отговор: 9:1.
Ъглополовящата на вътрешен ъгъл в триъгълник дели срещуположната страна на отсечки, които са пропорционални на прилежащите към тях страни.
Ако CL е ъглополовяща на \(\angle ACB\):
\[ \frac{AL}{BL} = \frac{AC}{BC} \]
В \(\triangle ABC\) ъглополовящата \(AL\) дели страната \(BC\) на отсечки \(BL=4\) cm и \(CL=3\) cm. Ако \(AB=8\) cm, то за \(AC\) имаме:
\(\frac{BL}{CL} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{8}{AC} \Rightarrow AC = \frac{3 \cdot 8}{4} = 6\) cm.
\(\frac{BL}{CL} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{8}{AC} \Rightarrow AC = \frac{3 \cdot 8}{4} = 6\) cm.
В \(\triangle ABC\) страните са \(AB=10, BC=12, AC=15\). Ъглополовящата към страната \(BC\) я пресича в точка L. Намерете дължините на \(BL\) и \(CL\).
Нека \(BL = x\), тогава \(CL = 12-x\).
От свойството на ъглополовящата: \(\frac{BL}{CL} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{x}{12-x} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\).
\(3x = 2(12-x) \Rightarrow 3x = 24 - 2x \Rightarrow 5x=24 \Rightarrow x=4.8\).
Отговор: \(BL=4.8\) cm, \(CL = 12 - 4.8 = 7.2\) cm.
От свойството на ъглополовящата: \(\frac{BL}{CL} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{x}{12-x} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\).
\(3x = 2(12-x) \Rightarrow 3x = 24 - 2x \Rightarrow 5x=24 \Rightarrow x=4.8\).
Отговор: \(BL=4.8\) cm, \(CL = 12 - 4.8 = 7.2\) cm.
За правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) с катети \(a, b\), хипотенуза \(c\), височина към хипотенузата \(h_c\) и проекции на катетите върху хипотенузата \(a_1, b_1\) са в сила следните зависимости:
\[ h_c^2 = a_1 \cdot b_1 \]
Квадратът на височината към хипотенузата е равен на произведението на проекциите на катетите.
\[ a^2 = a_1 \cdot c \quad \text{и} \quad b^2 = b_1 \cdot c \]
Квадратът на катета е равен на произведението на неговата проекция и хипотенузата.
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Питагорова теорема: Сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.
В правоъгълен триъгълник проекциите на катетите върху хипотенузата са \(a_1=2\) cm и \(b_1=8\) cm.
Хипотенузата е \(c = a_1+b_1 = 2+8 = 10\) cm.
Височината е \(h_c = \sqrt{a_1 \cdot b_1} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4\) cm.
Катетите са \(a = \sqrt{a_1 \cdot c} = \sqrt{2 \cdot 10} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) cm и \(b = \sqrt{b_1 \cdot c} = \sqrt{8 \cdot 10} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) cm.
Хипотенузата е \(c = a_1+b_1 = 2+8 = 10\) cm.
Височината е \(h_c = \sqrt{a_1 \cdot b_1} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4\) cm.
Катетите са \(a = \sqrt{a_1 \cdot c} = \sqrt{2 \cdot 10} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) cm и \(b = \sqrt{b_1 \cdot c} = \sqrt{8 \cdot 10} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) cm.
В правоъгълен триъгълник хипотенузата е \(c=25\) cm, а единият катет е \(a=15\) cm. Намерете другия катет \(b\) и височината \(h_c\).
От Питагоровата теорема: \(a^2+b^2=c^2 \Rightarrow 15^2+b^2=25^2 \Rightarrow 225+b^2=625 \Rightarrow b^2=400 \Rightarrow b=20\) cm.
Лицето е \(S = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{15 \cdot 20}{2} = 150\) cm\(^2\).
Също \(S = \frac{c \cdot h_c}{2} \Rightarrow 150 = \frac{25 \cdot h_c}{2} \Rightarrow h_c = \frac{300}{25} = 12\) cm.
Отговор: \(b=20\) cm, \(h_c=12\) cm.
Лицето е \(S = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{15 \cdot 20}{2} = 150\) cm\(^2\).
Също \(S = \frac{c \cdot h_c}{2} \Rightarrow 150 = \frac{25 \cdot h_c}{2} \Rightarrow h_c = \frac{300}{25} = 12\) cm.
Отговор: \(b=20\) cm, \(h_c=12\) cm.
За пресичащи се хорди: Ако хордите AB и CD се пресичат в точка M, то произведението от отсечките на едната хорда е равно на произведението от отсечките на другата.
\[ MA \cdot MB = MC \cdot MD \]
За допирателна и секуща: Ако от външна точка М са прекарани допирателна MT (T-допирна точка) и секуща MAB, то квадратът на допирателната отсечка е равен на произведението на цялата секуща и нейната външна част.
\[ MT^2 = MA \cdot MB \]
Хордите AB и CD се пресичат в M. Ако \(MA=6, MB=4, MC=3\), то \(MD\) се намира от \(6 \cdot 4 = 3 \cdot MD \Rightarrow 24 = 3 \cdot MD \Rightarrow MD=8\).
От точка M извън окръжност са построени допирателна MT=12 cm и секуща, която пресича окръжността в точки A и B. Намерете дължината на AB, ако MA=8 cm.
От теоремата: \(MT^2 = MA \cdot MB \Rightarrow 12^2 = 8 \cdot MB \Rightarrow 144 = 8 \cdot MB \Rightarrow MB=18\) cm.
\(MB = MA+AB \Rightarrow 18 = 8+AB \Rightarrow AB = 10\) cm.
Отговор: \(AB=10\) cm.
\(MB = MA+AB \Rightarrow 18 = 8+AB \Rightarrow AB = 10\) cm.
Отговор: \(AB=10\) cm.
Задачи за упражнение
Лесна: В правоъгълен триъгълник катетите са 5 cm и 12 cm. Намерете дължината на хипотенузата.
Прилагаме Питагоровата теорема \(a^2+b^2=c^2\):
\(5^2 + 12^2 = c^2 \Rightarrow 25 + 144 = c^2 \Rightarrow c^2=169\).
Отговор: \(c=13\) cm.
\(5^2 + 12^2 = c^2 \Rightarrow 25 + 144 = c^2 \Rightarrow c^2=169\).
Отговор: \(c=13\) cm.
Средна: Две хорди AB и CD в една окръжност се пресичат в точка M. Намерете дължината на хордата AB, ако MC = 2 cm, MD = 9 cm и MA:MB = 1:2.
От теоремата за пресичащи се хорди: \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\).
\(MA \cdot MB = 2 \cdot 9 = 18\).
От условието \(MA:MB = 1:2\), можем да означим \(MA=x\) и \(MB=2x\).
Заместваме: \(x \cdot 2x = 18 \Rightarrow 2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x=3\).
Следователно \(MA=3\) cm и \(MB=6\) cm.
Дължината на хордата е \(AB = MA+MB = 3+6=9\) cm.
Отговор: 9 cm.
\(MA \cdot MB = 2 \cdot 9 = 18\).
От условието \(MA:MB = 1:2\), можем да означим \(MA=x\) и \(MB=2x\).
Заместваме: \(x \cdot 2x = 18 \Rightarrow 2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x=3\).
Следователно \(MA=3\) cm и \(MB=6\) cm.
Дължината на хордата е \(AB = MA+MB = 3+6=9\) cm.
Отговор: 9 cm.
Трудна: В \(\triangle ABC\) със страни \(AC=12\) cm и \(BC=18\) cm е вписан ромб \(CDEF\) така, че върховете му D, E и F лежат съответно на страните AC, AB и BC. Намерете страната на ромба.
Нека страната на ромба е \(x\). Тогава \(CD=CF=DE=EF=x\).
Тъй като \(DE \parallel CF\), то \(DE \parallel BC\). От това следва, че \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) по I признак (\(\angle A\) е общ, \(\angle ADE = \angle ACB\) като съответни).
От подобието следва: \(\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}\).
Имаме \(AD = AC - CD = 12 - x\).
Заместваме в пропорцията: \(\frac{12-x}{12} = \frac{x}{18}\).
Решаваме уравнението: \(18(12-x) = 12x \Rightarrow 216 - 18x = 12x \Rightarrow 216 = 30x \Rightarrow x = \frac{216}{30} = 7.2\).
Отговор: Страната на ромба е 7.2 cm.
Тъй като \(DE \parallel CF\), то \(DE \parallel BC\). От това следва, че \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) по I признак (\(\angle A\) е общ, \(\angle ADE = \angle ACB\) като съответни).
От подобието следва: \(\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}\).
Имаме \(AD = AC - CD = 12 - x\).
Заместваме в пропорцията: \(\frac{12-x}{12} = \frac{x}{18}\).
Решаваме уравнението: \(18(12-x) = 12x \Rightarrow 216 - 18x = 12x \Rightarrow 216 = 30x \Rightarrow x = \frac{216}{30} = 7.2\).
Отговор: Страната на ромба е 7.2 cm.
