Най-важното от урока
Решаване по две страни и ъгъл между тях (SAS): Първо намерете третата страна с \(c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma\). След това намерете втория ъгъл, отново с косинусова теорема (напр. \(\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)), и накрая третия ъгъл от сбора \(180^\circ\).
Решаване по три страни (SSS): Намерете всеки от ъглите, като използвате трите варианта на косинусовата теорема. Например, \(\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\).
Кратка формула за ъгъл 60°: Ако \(\alpha = 60^\circ\), то \(a^2=b^2+c^2-bc\). Това е полезно за бързи проверки и изчисления.
Решаване по три страни (SSS): Намерете всеки от ъглите, като използвате трите варианта на косинусовата теорема. Например, \(\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\).
Кратка формула за ъгъл 60°: Ако \(\alpha = 60^\circ\), то \(a^2=b^2+c^2-bc\). Това е полезно за бързи проверки и изчисления.
При дадени две страни (например \(a, b\)) и ъгъла между тях (\(\gamma\)), можем да намерим останалите елементи на триъгълника (\(c, \alpha, \beta\)) в следната последователност:
Намиране на третата страна (c)
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma} \]
Намиране на втори ъгъл (α)
\[ \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]
Може да се използва и синусова теорема.
Намиране на третия ъгъл (β)
\[ \beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) \]
Дадени са \(a = 10\), \(b = 8\), \(\gamma = 60^\circ\). Намерете страната \(c\).
\(c^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos60^\circ\)
\(c^2 = 100 + 64 - 160 \cdot \frac{1}{2} = 164 - 80 = 84\)
\(c = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}\)
\(c^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos60^\circ\)
\(c^2 = 100 + 64 - 160 \cdot \frac{1}{2} = 164 - 80 = 84\)
\(c = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}\)
В \(\triangle ABC\) са дадени \(b = 5\) cm, \(c = 3\) cm и \(\alpha = 120^\circ\). Намерете страната \(a\).
Прилагаме косинусова теорема:
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha\)
\(a^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos120^\circ\)
\(a^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49\)
\(a = \sqrt{49} = 7\) cm.
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha\)
\(a^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos120^\circ\)
\(a^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49\)
\(a = \sqrt{49} = 7\) cm.
При дадени три страни (\(a, b, c\)), можем да намерим трите ъгъла на триъгълника (\(\alpha, \beta, \gamma\)) чрез косинусовата теорема.
\[ \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]
\[ \cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]
\[ \cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]
Достатъчно е да се намерят два от ъглите с формулите, а третият може да се намери от свойството, че сборът на ъглите в триъгълник е \(180^\circ\).
Дадени са страните \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 7\). Намерете \(\cos\alpha\).
\[ \cos\alpha = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7} \]
Намерете ъгъл \(\beta\) в триъгълник със страни \(a = 3\), \(c = 5\) и \(b = 7\).
Прилагаме формулата за \(\cos\beta\):
\[ \cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2} \]
От \(\cos\beta = -\frac{1}{2}\) следва, че \(\beta = 120^\circ\).
Равенството \( a^2 = b^2 + c^2 - bc \) е вярно тогава и само тогава, когато ъгълът \(\alpha\), който лежи срещу страната \(a\), е равен на \(60^\circ\).
Да докажем, че ако един триъгълник има страни 5 cm, 7 cm и 8 cm, то ъгълът срещу страната с дължина 7 cm е \(60^\circ\).
Нека \(a=7, b=8, c=5\). Проверяваме равенството \(a^2 = b^2 + c^2 - bc\):
\(7^2 = 49\)
\(8^2 + 5^2 - 8 \cdot 5 = 64 + 25 - 40 = 49\)
Тъй като равенството е изпълнено, ъгълът срещу страната \(a=7\) е \(60^\circ\).
Нека \(a=7, b=8, c=5\). Проверяваме равенството \(a^2 = b^2 + c^2 - bc\):
\(7^2 = 49\)
\(8^2 + 5^2 - 8 \cdot 5 = 64 + 25 - 40 = 49\)
Тъй като равенството е изпълнено, ъгълът срещу страната \(a=7\) е \(60^\circ\).
В \(\triangle ABC\) страните са \(b=3\) и \(c=8\). Намерете страната \(a\), ако \(\alpha = 60^\circ\).
Тъй като \(\alpha = 60^\circ\), можем да използваме свойството \(a^2 = b^2 + c^2 - bc\).
\(a^2 = 3^2 + 8^2 - 3 \cdot 8 = 9 + 64 - 24 = 49\)
\(a = \sqrt{49} = 7\).
\(a^2 = 3^2 + 8^2 - 3 \cdot 8 = 9 + 64 - 24 = 49\)
\(a = \sqrt{49} = 7\).
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\triangle ABC\) са дадени \(a=13\) cm, \(b=15\) cm и \(\gamma=60^\circ\). Намерете дължината на страната \(c\).
Прилагаме косинусова теорема:
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma\)
\(c^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cdot \cos60^\circ = 169 + 225 - 390 \cdot \frac{1}{2} = 394 - 195 = 199\)
\(c = \sqrt{199}\) cm.
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma\)
\(c^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cdot \cos60^\circ = 169 + 225 - 390 \cdot \frac{1}{2} = 394 - 195 = 199\)
\(c = \sqrt{199}\) cm.
Средна: Страните на триъгълник са 7 cm, 8 cm и 13 cm. Намерете мярката на най-големия ъгъл в триъгълника.
Най-големият ъгъл лежи срещу най-дългата страна. Нека \(a=7, b=8, c=13\). Търсим ъгъл \(\gamma\).
\(\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 169}{112} = \frac{113 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -0.5\)
Следователно, \(\gamma = 120^\circ\).
\(\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 169}{112} = \frac{113 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -0.5\)
Следователно, \(\gamma = 120^\circ\).
Трудна: В \(\triangle ABC\) са дадени \(a = \sqrt{21}\) cm, \(b = 4\) cm и \(\alpha = 60^\circ\). Намерете възможните стойности за страната \(c\).
Прилагаме косинусова теорема за страната \(a\):
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha\)
\((\sqrt{21})^2 = 4^2 + c^2 - 2 \cdot 4 \cdot c \cdot \cos60^\circ\)
\(21 = 16 + c^2 - 8c \cdot \frac{1}{2}\)
\(21 = 16 + c^2 - 4c\)
Получаваме квадратното уравнение: \(c^2 - 4c - 5 = 0\).
Решенията му са \(c_1 = 5\) и \(c_2 = -1\).
Тъй като дължината на страна не може да бъде отрицателна, единственото решение е \(c = 5\) cm.
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha\)
\((\sqrt{21})^2 = 4^2 + c^2 - 2 \cdot 4 \cdot c \cdot \cos60^\circ\)
\(21 = 16 + c^2 - 8c \cdot \frac{1}{2}\)
\(21 = 16 + c^2 - 4c\)
Получаваме квадратното уравнение: \(c^2 - 4c - 5 = 0\).
Решенията му са \(c_1 = 5\) и \(c_2 = -1\).
Тъй като дължината на страна не може да бъде отрицателна, единственото решение е \(c = 5\) cm.
