Най-важното от урока
Екстремална задача е намиране на най-голяма (НГС) или най-малка (НМС) стойност.
Основен подход: Изразяваме търсената величина като функция \(f(x)\) и намираме нейния екстремум.
Квадратна функция \(f(x) = ax^2 + bx + c\): Екстремумът е във върха при \(x_v = -b/(2a)\). Ако \(a>0\), имаме минимум; ако \(a<0\), имаме максимум.
Неравенство на Коши:
Основен подход: Изразяваме търсената величина като функция \(f(x)\) и намираме нейния екстремум.
Квадратна функция \(f(x) = ax^2 + bx + c\): Екстремумът е във върха при \(x_v = -b/(2a)\). Ако \(a>0\), имаме минимум; ако \(a<0\), имаме максимум.
Неравенство на Коши:
- Ако \(a+b=\text{const}\), то \(ab\) е max при \(a=b\). Пример: \(a+b=10 \Rightarrow\) max произведение е \(5 \cdot 5 = 25\).
- Ако \(ab=\text{const}\), то \(a+b\) е min при \(a=b\). Пример: \(ab=36 \Rightarrow\) min сбор е \(6+6=12\).
Екстремална задача е задача, в която се търси обект, притежаващ най-голяма (максимална) или най-малка (минимална) стойност на определена характеристика (например лице, обем, произведение, сбор и др.).
Задачата "Представете числото 26 като сбор на две положителни събираеми така, че произведението им да бъде възможно най-голямо" е екстремална, защото търсим максимална стойност на произведението.
В задача се търси "възможно най-малък сбор". Какъв тип стойност се търси?
Отговор: Търси се най-малка стойност (НМС) или минимум.
Решаването на екстремални задачи обикновено следва определен алгоритъм.
Избира се елемент, който се означава с независима променлива \(x\). Определя се неговото дефиниционно множество \(D\) (допустимите стойности за \(x\)).
Величината, чиято екстремална стойност се търси, се изразява като функция на променливата \(x\). Получава се израз от вида \(y = f(x)\).
Намира се най-голямата (НГС) или най-малката (НМС) стойност на функцията \(f(x)\) в дефиниционното множество \(D\), като се използват подходящи методи.
Намерената стойност на \(x\) се използва за намиране на всички елементи от условието и се записва крайният отговор.
Ако функцията, чийто екстремум търсим, е квадратна \(f(x) = ax^2 + bx + c\), нейната екстремална стойност се достига във върха на параболата.
- При \(a > 0\), параболата е "отворена нагоре" и функцията има най-малка стойност (НМС).
- При \(a < 0\), параболата е "отворена надолу" и функцията има най-голяма стойност (НГС).
Екстремумът се достига при \(x_v = -\frac{b}{2a}\), а самата стойност е \(y_v = f(x_v)\).
Да намерим НГС на \(f(x) = -x^2 + 26x\).
Тук \(a = -1 < 0\), следователно функцията има НГС.
\(x_v = -\frac{26}{2 \cdot (-1)} = 13\).
НГС е \(f(13) = -13^2 + 26 \cdot 13 = -169 + 338 = 169\).
Тук \(a = -1 < 0\), следователно функцията има НГС.
\(x_v = -\frac{26}{2 \cdot (-1)} = 13\).
НГС е \(f(13) = -13^2 + 26 \cdot 13 = -169 + 338 = 169\).
Намерете най-малката стойност на функцията \(f(x) = 2x^2 - 12x + 160\).
Тъй като \(a=2>0\), функцията има НМС.
\(x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3\).
НМС е \(f(3) = 2 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 160 = 18 - 36 + 160 = 142\).
\(x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3\).
НМС е \(f(3) = 2 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 160 = 18 - 36 + 160 = 142\).
Неравенството на Коши и неговите следствия са мощен инструмент за намиране на екстремуми, особено когато имаме постояннен сбор или произведение.
За произведение: Ако сборът на две положителни числа е константа (\(a+b=k\)), тяхното произведение \(ab\) е най-голямо, когато числата са равни (\(a=b\)). Максималната стойност е \(\left(\frac{k}{2}\right)^2\).
За сбор: Ако произведението на две положителни числа е константа (\(ab=k\)), техният сбор \(a+b\) е най-малък, когато числата са равни (\(a=b\)). Минималната стойност е \(2\sqrt{k}\).
Да намерим НМС на \(f(x) = 2^{x+1} + 2^{3-x}\).
Нека \(a = 2^{x+1}\) и \(b = 2^{3-x}\).
Произведението им е константа: \(a \cdot b = 2^{x+1} \cdot 2^{3-x} = 2^{x+1+3-x} = 2^4 = 16\).
Следователно сборът им \(a+b\) е най-малък, когато \(a=b\).
НМС е \(2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8\).
Нека \(a = 2^{x+1}\) и \(b = 2^{3-x}\).
Произведението им е константа: \(a \cdot b = 2^{x+1} \cdot 2^{3-x} = 2^{x+1+3-x} = 2^4 = 16\).
Следователно сборът им \(a+b\) е най-малък, когато \(a=b\).
НМС е \(2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8\).
Сборът на две положителни числа е 30. Каква е най-голямата стойност на тяхното произведение?
Нека числата са \(a\) и \(b\). Имаме \(a+b=30\). Произведението \(ab\) е най-голямо при \(a=b\).
\(a+a=30 \Rightarrow 2a=30 \Rightarrow a=15\).
Числата са 15 и 15, а най-голямото произведение е \(15 \cdot 15 = 225\).
\(a+a=30 \Rightarrow 2a=30 \Rightarrow a=15\).
Числата са 15 и 15, а най-голямото произведение е \(15 \cdot 15 = 225\).
Задачи за упражнение
Лесна: Представете числото 18 като сбор на две положителни събираеми така, че произведението им да е възможно най-голямо.
Нека събираемите са \(x\) и \(18-x\). Търсим максимум на \(f(x) = x(18-x) = -x^2+18x\).
Тъй като \(a=-1<0\), функцията има НГС.
\(x_v = -\frac{18}{2(-1)} = 9\).
Отговор: Двете събираеми са 9 и 9.
Тъй като \(a=-1<0\), функцията има НГС.
\(x_v = -\frac{18}{2(-1)} = 9\).
Отговор: Двете събираеми са 9 и 9.
Средна: Намерете най-малката стойност на функцията \(f(x) = x + \frac{16}{x}\) за \(x > 0\).
Прилагаме неравенството на Коши. Нека \(a=x\) и \(b=\frac{16}{x}\).
Произведението им е константа: \(a \cdot b = x \cdot \frac{16}{x} = 16\).
Сборът им \(a+b\) е най-малък, когато \(a=b\), т.е. \(x=\frac{16}{x} \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=4\).
Най-малката стойност е \(f(4) = 4 + \frac{16}{4} = 4+4=8\).
Отговор: НМС е 8.
Произведението им е константа: \(a \cdot b = x \cdot \frac{16}{x} = 16\).
Сборът им \(a+b\) е най-малък, когато \(a=b\), т.е. \(x=\frac{16}{x} \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=4\).
Най-малката стойност е \(f(4) = 4 + \frac{16}{4} = 4+4=8\).
Отговор: НМС е 8.
Трудна: Правоъгълник има периметър 40 см. Намерете размерите му (дължина и ширина), за които лицето му е максимално.
Нека страните са \(a\) и \(b\). Периметърът \(P = 2(a+b) = 40\), откъдето \(a+b=20\).
Търсим максимална стойност на лицето \(S = a \cdot b\).
От неравенството на Коши знаем, че при постоянен сбор (\(a+b=20\)), произведението е най-голямо, когато събираемите са равни: \(a=b\).
От \(a+a=20 \Rightarrow 2a=20 \Rightarrow a=10\).
Следователно \(a=10\) см и \(b=10\) см. Фигурата е квадрат.
Отговор: Размерите са 10 см и 10 см.
Търсим максимална стойност на лицето \(S = a \cdot b\).
От неравенството на Коши знаем, че при постоянен сбор (\(a+b=20\)), произведението е най-голямо, когато събираемите са равни: \(a=b\).
От \(a+a=20 \Rightarrow 2a=20 \Rightarrow a=10\).
Следователно \(a=10\) см и \(b=10\) см. Фигурата е квадрат.
Отговор: Размерите са 10 см и 10 см.
