Най-важното от урока
Ключови изводи:
1. Обща основа: Винаги свеждайте двете страни на неравенството до степени с еднаква основа \(a\).
2. Проверка на основата:
1. Обща основа: Винаги свеждайте двете страни на неравенството до степени с еднаква основа \(a\).
2. Проверка на основата:
- Ако \(a>1\), запазете знака на неравенството между степенните показатели. (Пример: \(2^{x} > 2^3 \Rightarrow x>3\))
- Ако \(0 < a < 1\), обърнете знака на неравенството между степенните показатели. (Пример: \((\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^3 \Rightarrow x<3\))
Решението на показателно неравенство от вида \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) зависи от основата \(a\).
Случай 1: Основата е по-голяма от 1 (\(a > 1\))
Знакът на неравенството се запазва. \[a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)\]Случай 2: Основата е между 0 и 1 (\(0 < a < 1\))
Знакът на неравенството се обръща. \[a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)\]
а) При \(7^{x-2} < 7^{3}\), основата е \(a=7>1\), затова \(x-2 < 3 \Rightarrow x < 5\).
б) При \(0.3^{x-2} < 0.3^{3}\), основата е \(a=0.3<1\), затова \(x-2 > 3 \Rightarrow x > 5\).
б) При \(0.3^{x-2} < 0.3^{3}\), основата е \(a=0.3<1\), затова \(x-2 > 3 \Rightarrow x > 5\).
Решете неравенството: \((\frac{1}{5})^{2x-1} \ge (\frac{1}{5})^{x+4}\)
Основата \(a=\frac{1}{5}\) е между 0 и 1, затова обръщаме знака на неравенството:
\[2x-1 \le x+4\]
\[x \le 5\]
Отговор: \(x \in (-\infty; 5]\)
За да приложим основното правило, трябва двете страни на неравенството да са степени с еднаква основа. Често се налага да преобразуваме числата.
Важни преобразувания:
- \(1 = a^0\) за всяка основа \(a \ne 0\).
- \(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\). Например \( \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2} \).
- \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \). Например \( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \).
- За произволно число \(A > 0\) важи \(A = a^{\log_a A}\).
Да решим \(3^{x^2-4x} < 1\).
Представяме \(1\) като \(3^0\). Неравенството става \(3^{x^2-4x} < 3^0\).
Основата е \(3>1\), следователно \(x^2-4x < 0 \Rightarrow x(x-4) < 0\).
Решението е \(x \in (0; 4)\).
Представяме \(1\) като \(3^0\). Неравенството става \(3^{x^2-4x} < 3^0\).
Основата е \(3>1\), следователно \(x^2-4x < 0 \Rightarrow x(x-4) < 0\).
Решете неравенството \(4^{x+1} \ge 32\).
Представяме всичко с основа 2: \(4 = 2^2\), \(32 = 2^5\).
\[(2^2)^{x+1} \ge 2^5\]
\[2^{2(x+1)} \ge 2^5\]
Основата е \(2>1\), запазваме знака:
\[2x+2 \ge 5\]
\[2x \ge 3 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2}\]
Отговор: \(x \in [\frac{3}{2}; +\infty)\)
Неравенства, които са от по-висока степен спрямо \(a^{f(x)}\), могат да се решат чрез въвеждане на ново неизвестно (полагане).
Полагаме \(y = a^{f(x)}\). Важно условие е \(y > 0\).
Решаваме полученото алгебрично неравенство спрямо \(y\), като се съобразяваме с условието \(y > 0\).
Връщаме се към първоначалното неизвестно \(x\) и решаваме получените основни показателни неравенства.
Да решим \(3^{2x} - 5 \cdot 3^x < 36\).
Неравенството е \((3^x)^2 - 5 \cdot 3^x - 36 < 0\).
1. Полагаме \(y = 3^x\), където \(y > 0\).
2. Получаваме \(y^2 - 5y - 36 < 0\). Корените на \(y^2 - 5y - 36 = 0\) са \(y_1=-4\) и \(y_2=9\). Неравенството е изпълнено за \(y \in (-4; 9)\). Тъй като \(y > 0\), решението е \(0 < y < 9\).
3. Връщаме се към \(x\): \(3^x < 9 \Rightarrow 3^x < 3^2\). Основата е \(3>1\), следователно \(x < 2\).
Неравенството е \((3^x)^2 - 5 \cdot 3^x - 36 < 0\).
1. Полагаме \(y = 3^x\), където \(y > 0\).
2. Получаваме \(y^2 - 5y - 36 < 0\). Корените на \(y^2 - 5y - 36 = 0\) са \(y_1=-4\) и \(y_2=9\). Неравенството е изпълнено за \(y \in (-4; 9)\). Тъй като \(y > 0\), решението е \(0 < y < 9\).
3. Връщаме се към \(x\): \(3^x < 9 \Rightarrow 3^x < 3^2\). Основата е \(3>1\), следователно \(x < 2\).
Решете неравенството \(4^x - 6 \cdot 2^x + 8 \le 0\).
Неравенството е \((2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 \le 0\).
1. Полагаме \(y = 2^x\), \(y > 0\).
2. Решаваме \(y^2 - 6y + 8 \le 0\). Корените са \(y_1=2, y_2=4\). Решението е \(y \in [2; 4]\). Условието \(y>0\) е изпълнено.
3. Връщаме се към \(x\): \(2 \le 2^x \le 4\). Това е система от две неравенства:
\(2^1 \le 2^x \Rightarrow 1 \le x\)
\(2^x \le 2^2 \Rightarrow x \le 2\)
Отговор: \(x \in [1; 2]\)
1. Полагаме \(y = 2^x\), \(y > 0\).
2. Решаваме \(y^2 - 6y + 8 \le 0\). Корените са \(y_1=2, y_2=4\). Решението е \(y \in [2; 4]\). Условието \(y>0\) е изпълнено.
3. Връщаме се към \(x\): \(2 \le 2^x \le 4\). Това е система от две неравенства:
\(2^1 \le 2^x \Rightarrow 1 \le x\)
\(2^x \le 2^2 \Rightarrow x \le 2\)
Отговор: \(x \in [1; 2]\)
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \(5^{3x-1} \le 125\).
\[5^{3x-1} \le 5^3\]
Основата \(a=5>1\), запазваме знака:
\[3x-1 \le 3\]
\[3x \le 4\]
\[x \le \frac{4}{3}\]
Отговор: \(x \in (-\infty; \frac{4}{3}]\)
Средна: Решете неравенството \((0.2)^{x^2-x} > 0.04\).
Представяме \(0.04\) като степен на \(0.2\): \(0.04 = (0.2)^2\).
\[(0.2)^{x^2-x} > (0.2)^2\]
Основата \(a=0.2<1\), обръщаме знака:
\[x^2 - x < 2\]
\[x^2 - x - 2 < 0\]
Корените на \(x^2 - x - 2 = 0\) са \(x_1=-1, x_2=2\).
Отговор: \(x \in (-1; 2)\)
Трудна: Решете неравенството \(2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0\).
Неравенството е \(2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0\).
Полагаме \(y=2^x, y>0\). \[2y^2 - 5y + 2 \ge 0\] Корените на \(2y^2 - 5y + 2 = 0\) са \(y_1 = \frac{1}{2}, y_2 = 2\).
Неравенството е изпълнено за \(y \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)\).
Като отчетем \(y>0\), получаваме \(y \in (0; \frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)\).
Връщаме се към \(x\):
1) \(2^x \le \frac{1}{2} \Rightarrow 2^x \le 2^{-1} \Rightarrow x \le -1\)
2) \(2^x \ge 2 \Rightarrow 2^x \ge 2^1 \Rightarrow x \ge 1\)
Отговор: \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\)
Полагаме \(y=2^x, y>0\). \[2y^2 - 5y + 2 \ge 0\] Корените на \(2y^2 - 5y + 2 = 0\) са \(y_1 = \frac{1}{2}, y_2 = 2\).
Неравенството е изпълнено за \(y \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)\).
Като отчетем \(y>0\), получаваме \(y \in (0; \frac{1}{2}] \cup [2; +\infty)\).
Връщаме се към \(x\):
1) \(2^x \le \frac{1}{2} \Rightarrow 2^x \le 2^{-1} \Rightarrow x \le -1\)
2) \(2^x \ge 2 \Rightarrow 2^x \ge 2^1 \Rightarrow x \ge 1\)
Отговор: \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\)
