Най-важното от урока
За да решите ирационално неравенство от вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \), винаги го свеждайте до еквивалентна система от неравенства.
- Стъпка 1: Дефиниционна област. Изразът под корена трябва да е неотрицателен: \( f(x) \geq 0 \).
- Стъпка 2: Положителност. Дясната страна трябва да е положителна, за да може да се сравнява с корен: \( g(x) > 0 \).
- Стъпка 3: Повдигане на квадрат. След като сме сигурни, че двете страни са неотрицателни, повдигаме на квадрат: \( f(x) < g^2(x) \).
Неравенство, в което неизвестното е под корен, се нарича ирационално. За да го решим, го преобразуваме в система от рационални неравенства, която е еквивалентна на него. Повдигането на квадрат е позволено само когато и двете страни на неравенството са неотрицателни.
Неравенството \( \sqrt{f(x)} < g(x) \) е еквивалентно на системата:
\[ \begin{cases} f(x) \geq 0 & \text{i. условие за дефиниционна област (ДС)} \\ g(x) > 0 & \text{ii. дясната страна трябва да е положителна} \\ f(x) < g^2(x) & \text{iii. повдигаме двете страни на квадрат} \end{cases} \]
Решението е сечението от решенията на трите неравенства.
Да решим неравенството \( \sqrt{4x+1} < x-5 \).
Системата е: \[ \begin{cases} 4x+1 \geq 0 \\ x-5 > 0 \\ 4x+1 < (x-5)^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq -1/4 \\ x > 5 \\ x^2-14x+24 > 0 \end{cases} \] Решенията на всяко неравенство са:
Сечението на трите интервала е \( (12; +\infty) \), което е и решението на неравенството.
Системата е: \[ \begin{cases} 4x+1 \geq 0 \\ x-5 > 0 \\ 4x+1 < (x-5)^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq -1/4 \\ x > 5 \\ x^2-14x+24 > 0 \end{cases} \] Решенията на всяко неравенство са:
- \(x \in [-1/4; +\infty)\)
- \(x \in (5; +\infty)\)
- \(x \in (-\infty; 2) \cup (12; +\infty)\)
Решете неравенството \( \sqrt{x-2} < x-4 \).
Системата е \( \begin{cases} x-2 \geq 0 \\ x-4 > 0 \\ x-2 < (x-4)^2 \end{cases} \).
1. \(x \geq 2\)
2. \(x > 4\)
3. \(x-2 < x^2-8x+16 \Rightarrow x^2-9x+18 > 0 \). Корените са 3 и 6. Решението е \(x \in (-\infty; 3) \cup (6; +\infty)\).
Сечението на \(x>4\) и \(x \in (-\infty; 3) \cup (6; +\infty)\) е \(x \in (6; +\infty)\).
Отговор: \( x \in (6; +\infty) \).
1. \(x \geq 2\)
2. \(x > 4\)
3. \(x-2 < x^2-8x+16 \Rightarrow x^2-9x+18 > 0 \). Корените са 3 и 6. Решението е \(x \in (-\infty; 3) \cup (6; +\infty)\).
Сечението на \(x>4\) и \(x \in (-\infty; 3) \cup (6; +\infty)\) е \(x \in (6; +\infty)\).
Отговор: \( x \in (6; +\infty) \).
Решаването на нестроги ирационални неравенства следва същата логика, като неравенствата в еквивалентната система също стават нестроги.
Неравенството \( \sqrt{f(x)} \leq g(x) \) е еквивалентно на системата:
\[ \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) \leq g^2(x) \end{cases} \]
Да решим неравенството \( \sqrt{x^4-25} \leq x^2-1 \).
Системата е: \[ \begin{cases} x^4-25 \geq 0 \\ x^2-1 \geq 0 \\ x^4-25 \leq (x^2-1)^2 \end{cases} \] Решенията на всяко неравенство са:![Начертайте хоризонтална числова ос. В центъра поставете точка 0. Обозначете оста с 'x' и стрелка вдясно за положителна посока. Ясно отбележете и етикетирайте следните точки на числовата ос: \(-\sqrt{13}\), \(-\sqrt{5}\), \(-1\), \(1\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{13}\), като спазвате тяхната последователност.
Над главната ос, на три отделни паралелни нива, представете всяко от решенията:
1. **Първо ниво:** Множеството \(x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty)\) чрез дебели линии, които започват от запълнени кръгчета при \(-\sqrt{5}\) и \(\sqrt{5}\) и продължават със стрелки до безкрайност във външни посоки.
2. **Второ ниво:** Множеството \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\) чрез дебели линии, които започват от запълнени кръгчета при \(-1\) и \(1\) и продължават със стрелки до безкрайност във външни посоки.
3. **Трето ниво:** Множеството \(x \in [-\sqrt{13}; \sqrt{13}]\) чрез дебела линия, свързваща запълнени кръгчета при \(-\sqrt{13}\) и \(\sqrt{13}\).
Под тези нива, или като отделна, по-ясно изразена линия върху числовата ос, изобразете общото сечение на трите множества. Общото сечение са интервалите \( [-\sqrt{13}; -\sqrt{5}] \) и \( [\sqrt{5}; \sqrt{13}] \). Тези крайни интервали да бъдат представени с много дебели линии, като запълнени кръгчета са поставени в точките \(-\sqrt{13}\), \(-\sqrt{5}\), \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{13}\).](https://domashno.bg/get_image/9fdc7cde-5e62-4f9f-908b-e580183cf78e?timestamp=1757706740)
Сечението на трите решения е \( [-\sqrt{13}; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; \sqrt{13}] \).
Системата е: \[ \begin{cases} x^4-25 \geq 0 \\ x^2-1 \geq 0 \\ x^4-25 \leq (x^2-1)^2 \end{cases} \] Решенията на всяко неравенство са:
- \( (x^2-5)(x^2+5) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty) \)
- \( (x-1)(x+1) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \)
- \( x^4-25 \leq x^4-2x^2+1 \Rightarrow 2x^2 \leq 26 \Rightarrow x^2 \leq 13 \Rightarrow x \in [-\sqrt{13}; \sqrt{13}] \)
Решете неравенството \( \sqrt{x+5} \leq x-1 \).
Системата е \( \begin{cases} x+5 \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \\ x+5 \leq (x-1)^2 \end{cases} \).
1. \(x \geq -5\)
2. \(x \geq 1\)
3. \(x+5 \leq x^2-2x+1 \Rightarrow x^2-3x-4 \geq 0\). Корените са -1 и 4. Решението е \(x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)\).
Сечението на \(x \geq 1\) и \(x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)\) е \(x \in [4; +\infty)\).
Отговор: \( x \in [4; +\infty) \).
1. \(x \geq -5\)
2. \(x \geq 1\)
3. \(x+5 \leq x^2-2x+1 \Rightarrow x^2-3x-4 \geq 0\). Корените са -1 и 4. Решението е \(x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)\).
Сечението на \(x \geq 1\) и \(x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)\) е \(x \in [4; +\infty)\).
Отговор: \( x \in [4; +\infty) \).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \( \sqrt{x+7} < 3 \).
Тъй като дясната страна е положително число (3 > 0), второто условие от системата отпада.
Остава да решим системата: \( \begin{cases} x+7 \geq 0 \\ x+7 < 3^2 \end{cases} \)
1. \( x+7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -7 \)
2. \( x+7 < 9 \Rightarrow x < 2 \)
Сечението на двете решения е \( [-7; 2) \).
Отговор: \( x \in [-7; 2) \).
Остава да решим системата: \( \begin{cases} x+7 \geq 0 \\ x+7 < 3^2 \end{cases} \)
1. \( x+7 \geq 0 \Rightarrow x \geq -7 \)
2. \( x+7 < 9 \Rightarrow x < 2 \)
Сечението на двете решения е \( [-7; 2) \).
Отговор: \( x \in [-7; 2) \).
Средна: Решете неравенството \( \sqrt{x^2 - 4} < x - 1 \).
Решаваме системата \( \begin{cases} x^2-4 \geq 0 \\ x-1 > 0 \\ x^2-4 < (x-1)^2 \end{cases} \).
1. \( x^2-4 \geq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \)
2. \( x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
3. \( x^2-4 < x^2-2x+1 \Rightarrow 2x < 5 \Rightarrow x < 2.5 \)
Сечението на \(x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)\) и \(x > 1\) е \(x \in [2; +\infty)\).
Сечението на \(x \in [2; +\infty)\) и \(x < 2.5\) е \(x \in [2; 2.5)\).
Отговор: \( x \in [2; 2.5) \).
1. \( x^2-4 \geq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \)
2. \( x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
3. \( x^2-4 < x^2-2x+1 \Rightarrow 2x < 5 \Rightarrow x < 2.5 \)
Сечението на \(x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)\) и \(x > 1\) е \(x \in [2; +\infty)\).
Сечението на \(x \in [2; +\infty)\) и \(x < 2.5\) е \(x \in [2; 2.5)\).
Отговор: \( x \in [2; 2.5) \).
Трудна: Решете неравенството \( \sqrt{3x^2-4x+1} < 2x+1 \).
Решаваме системата \( \begin{cases} 3x^2-4x+1 \geq 0 \\ 2x+1 > 0 \\ 3x^2-4x+1 < (2x+1)^2 \end{cases} \).
1. \( 3x^2-4x+1 \geq 0 \). Корените са \(x_1=1/3, x_2=1\). Решението е \(x \in (-\infty; 1/3] \cup [1; +\infty)\).
2. \( 2x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/2 \).
3. \( 3x^2-4x+1 < 4x^2+4x+1 \Rightarrow x^2+8x > 0 \Rightarrow x(x+8) > 0 \). Решението е \(x \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)\).
Сечението на трите множества е \( (0; 1/3] \cup [1; +\infty) \).
Отговор: \( x \in (0; 1/3] \cup [1; +\infty) \).
1. \( 3x^2-4x+1 \geq 0 \). Корените са \(x_1=1/3, x_2=1\). Решението е \(x \in (-\infty; 1/3] \cup [1; +\infty)\).
2. \( 2x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/2 \).
3. \( 3x^2-4x+1 < 4x^2+4x+1 \Rightarrow x^2+8x > 0 \Rightarrow x(x+8) > 0 \). Решението е \(x \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)\).
Сечението на трите множества е \( (0; 1/3] \cup [1; +\infty) \).
Отговор: \( x \in (0; 1/3] \cup [1; +\infty) \).
