Най-важното от урока
Решаване на \(|ax^2 + bx + c| = m\):
1. Ако \(m > 0\): решават се двете уравнения \(ax^2 + bx + c = m\) и \(ax^2 + bx + c = -m\). Може да има до 4 корена. Пример: \(|x^2|=9 \implies x^2=9\) или \(x^2=-9\), откъдето \(x=\pm3\).
2. Ако \(m = 0\): решава се само \(ax^2 + bx + c = 0\). Може да има до 2 корена. Пример: \(|x^2-4|=0 \implies x^2=4 \implies x=\pm2\).
3. Ако \(m < 0\): уравнението няма реални решения. Пример: \(|x^2+1|=-5\) няма решение.
1. Ако \(m > 0\): решават се двете уравнения \(ax^2 + bx + c = m\) и \(ax^2 + bx + c = -m\). Може да има до 4 корена. Пример: \(|x^2|=9 \implies x^2=9\) или \(x^2=-9\), откъдето \(x=\pm3\).
2. Ако \(m = 0\): решава се само \(ax^2 + bx + c = 0\). Може да има до 2 корена. Пример: \(|x^2-4|=0 \implies x^2=4 \implies x=\pm2\).
3. Ако \(m < 0\): уравнението няма реални решения. Пример: \(|x^2+1|=-5\) няма решение.
Решаването на уравнение от вида \(|f(x)| = m\) зависи от стойността на числото \(m\), тъй като абсолютната стойност (модул) не може да бъде отрицателно число.
Уравнението \(|f(x)| = m\) се разглежда в три случая:
- Ако \(m > 0\), уравнението е равносилно на две уравнения: \(f(x) = m\) или \(f(x) = -m\).
- Ако \(m = 0\), уравнението е равносилно на \(f(x) = 0\).
- Ако \(m < 0\), уравнението няма реални решения.
Уравнението \(|x^2 - 5x + 2| = 2\) се разпада на две квадратни уравнения, защото \(2 > 0\):
\(x^2 - 5x + 2 = 2\)
\(x^2 - 5x + 2 = -2\)
\(x^2 - 5x + 2 = 2\)
\(x^2 - 5x + 2 = -2\)
На колко уравнения ще се разпадне решението на \(|3x^2 - 7x + 1| = -2\)?
Отговор: На нито едно. Уравнението няма решение, защото дясната страна е отрицателно число (\(-2 < 0\)).
Когато \(m\) е положително число, решаваме двете отделни квадратни уравнения \(ax^2 + bx + c = m\) и \(ax^2 + bx + c = -m\). Общият брой на решенията е сборът от решенията на двете уравнения и може да бъде 0, 1, 2, 3 или 4.
Разделете модулното уравнение на две квадратни уравнения:
\(ax^2 + bx + c = m\)
\(ax^2 + bx + c = -m\)
\(ax^2 + bx + c = m\)
\(ax^2 + bx + c = -m\)
Решете всяко от двете уравнения (например чрез дискриминанта).
Обединете решенията от двете уравнения, за да получите крайния отговор.
Решете \(|x^2 - 7| = 2\).
Разделяме на две уравнения:
1) \(x^2 - 7 = 2 \implies x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\)
2) \(x^2 - 7 = -2 \implies x^2 = 5 \implies x_{3,4} = \pm \sqrt{5}\)
Уравнението има четири корена: \(\pm 3\) и \(\pm \sqrt{5}\).
Разделяме на две уравнения:
1) \(x^2 - 7 = 2 \implies x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\)
2) \(x^2 - 7 = -2 \implies x^2 = 5 \implies x_{3,4} = \pm \sqrt{5}\)
Уравнението има четири корена: \(\pm 3\) и \(\pm \sqrt{5}\).
Решете уравнението \(|x^2 - 3x| = 4\).
1) \(x^2 - 3x = 4 \implies x^2 - 3x - 4 = 0\). Корените са \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\).
2) \(x^2 - 3x = -4 \implies x^2 - 3x + 4 = 0\). Дискриминантата е \(D = 9 - 16 = -7 < 0\), следователно това уравнение няма реални корени.
Отговор: Уравнението има два корена: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\).
2) \(x^2 - 3x = -4 \implies x^2 - 3x + 4 = 0\). Дискриминантата е \(D = 9 - 16 = -7 < 0\), следователно това уравнение няма реални корени.
Отговор: Уравнението има два корена: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\).
Когато \(m=0\), уравнението се свежда до едно квадратно уравнение: \(ax^2 + bx + c = 0\). Броят на корените (0, 1 или 2) зависи от неговата дискриминанта.
Решете \(|x^2 - 7x + 6| = 0\).
Уравнението е еквивалентно на \(x^2 - 7x + 6 = 0\).
Корените са \(x_1=1\) и \(x_2=6\).
Уравнението е еквивалентно на \(x^2 - 7x + 6 = 0\).
Корените са \(x_1=1\) и \(x_2=6\).
Решете уравнението \(|x^2 - 4x + 4| = 0\).
Свежда се до \(x^2 - 4x + 4 = 0\), което е \((x-2)^2 = 0\).
Отговор: Уравнението има един двоен корен \(x = 2\).
Отговор: Уравнението има един двоен корен \(x = 2\).
Броят на решенията на уравнението \(|ax^2 + bx + c| = m\) може да се определи като се намери броят на пресечните точки на графиката на функцията \(y = |ax^2 + bx + c|\) и хоризонталната права \(y = m\).
Графиката на \(y=|f(x)|\) се получава от графиката на \(y=f(x)\), като частта от нея, която е под оста \(Ox\), се отрази симетрично спрямо \(Ox\).
За уравнението \(|x^2 - 2x - 3| = m\):
- При \(m > 4\), правата \(y=m\) пресича графиката в 2 точки \(\implies\) 2 решения.
- При \(m = 4\), правата минава през върха \(\implies\) 3 решения.
- При \(0 < m < 4\), правата пресича графиката в 4 точки \(\implies\) 4 решения.
- При \(m = 0\), правата минава през нулите \(\implies\) 2 решения.
- При \(m < 0\), няма пресечни точки \(\implies\) няма решения.
Колко решения има уравнението \(|x^2 - 2x - 3| = 1\)?
Отговор: Тъй като \(0 < 1 < 4\), правата \(y=1\) се намира между оста \(Ox\) и върха на отразената парабола. Следователно, тя пресича графиката 4 пъти, т.е. уравнението има 4 решения.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(|x^2 - 10| = 6\).
Разпада се на две уравнения:
1) \(x^2 - 10 = 6 \implies x^2 = 16 \implies x_{1,2} = \pm 4\).
2) \(x^2 - 10 = -6 \implies x^2 = 4 \implies x_{3,4} = \pm 2\).
Отговор: Уравнението има четири корена: \(-4, -2, 2, 4\).
1) \(x^2 - 10 = 6 \implies x^2 = 16 \implies x_{1,2} = \pm 4\).
2) \(x^2 - 10 = -6 \implies x^2 = 4 \implies x_{3,4} = \pm 2\).
Отговор: Уравнението има четири корена: \(-4, -2, 2, 4\).
Средна: Решете уравнението \(|x^2 + 2x| = 3\).
Разпада се на две уравнения:
1) \(x^2 + 2x = 3 \implies x^2 + 2x - 3 = 0\). Корените са \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -3\).
2) \(x^2 + 2x = -3 \implies x^2 + 2x + 3 = 0\). Дискриминантата е \(D = 4 - 12 = -8 < 0\), няма реални корени.
Отговор: Уравнението има два корена: \(1\) и \(-3\).
1) \(x^2 + 2x = 3 \implies x^2 + 2x - 3 = 0\). Корените са \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -3\).
2) \(x^2 + 2x = -3 \implies x^2 + 2x + 3 = 0\). Дискриминантата е \(D = 4 - 12 = -8 < 0\), няма реални корени.
Отговор: Уравнението има два корена: \(1\) и \(-3\).
Трудна: Намерете стойностите на параметъра \(m\), за които уравнението \(|x^2 - 4x| = m\) има точно три решения.
Търсим броя на пресечните точки на \(y = |x^2 - 4x|\) и \(y = m\).
1. Анализираме параболата \(y = x^2 - 4x\). Тя пресича \(Ox\) при \(x(x-4)=0\), т.е. в \(x=0\) и \(x=4\).
2. Върхът на параболата е при \(x_v = -\frac{-4}{2} = 2\). Стойността е \(y_v = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4\).
3. Графиката на \(y = |x^2 - 4x|\) се получава, като частта под \(Ox\) (с връх (2, -4)) се отрази симетрично. Новият "пик" на графиката е в точка \((2, 4)\).
4. Уравнението ще има точно три решения, когато хоризонталната права \(y=m\) минава точно през този пик.
Отговор: Уравнението има три решения при \(m=4\).
1. Анализираме параболата \(y = x^2 - 4x\). Тя пресича \(Ox\) при \(x(x-4)=0\), т.е. в \(x=0\) и \(x=4\).
2. Върхът на параболата е при \(x_v = -\frac{-4}{2} = 2\). Стойността е \(y_v = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4\).
3. Графиката на \(y = |x^2 - 4x|\) се получава, като частта под \(Ox\) (с връх (2, -4)) се отрази симетрично. Новият "пик" на графиката е в точка \((2, 4)\).
4. Уравнението ще има точно три решения, когато хоризонталната права \(y=m\) минава точно през този пик.
Отговор: Уравнението има три решения при \(m=4\).
