Най-важното от урока
Модулни: \(|f(x)| < m \iff\) "сандвич" \(-m < f(x) < m\). \(|f(x)| > m \iff\) разпадане на две части \(f(x) < -m\) или \(f(x) > m\).
Ирационални: Винаги проверявай ДС (\( \text{подкоренна величина} \ge 0 \)) и знака на дясната страна преди да повдигнеш на квадрат.
Показателни и Логаритмични: Ключът е в основата \(a\).
Ирационални: Винаги проверявай ДС (\( \text{подкоренна величина} \ge 0 \)) и знака на дясната страна преди да повдигнеш на квадрат.
Показателни и Логаритмични: Ключът е в основата \(a\).
- При \(a > 1\), запазваш знака на неравенството. Пример: \(2^x > 2^3 \implies x > 3\).
- При \(0 < a < 1\), обръщаш знака. Пример: \((1/2)^x > (1/2)^3 \implies x < 3\).
При \(m>0\), неравенствата с модул се решават по следните правила:
- \( |f(x)| < m \iff -m < f(x) < m \)
- \( |f(x)| > m \iff f(x) < -m \text{ или } f(x) > m \)
Ако неравенството е нестрого (\(\le\) или \(\ge\)), еквивалентните му неравенства също са нестроги.
Да решим \( |x - 3| < 5 \):
\[ -5 < x - 3 < 5 \]
Събираме 3 към всяка страна:
\[ -5 + 3 < x < 5 + 3 \]
\[ -2 < x < 8 \implies x \in (-2, 8) \]
Решете неравенството \( |2x + 1| \ge 7 \).
Прилагаме второто правило:
\( 2x + 1 \le -7 \) или \( 2x + 1 \ge 7 \)
\( 2x \le -8 \implies x \le -4 \)
\( 2x \ge 6 \implies x \ge 3 \)
Отговор: \( x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty) \)
\( 2x + 1 \le -7 \) или \( 2x + 1 \ge 7 \)
\( 2x \le -8 \implies x \le -4 \)
\( 2x \ge 6 \implies x \ge 3 \)
Отговор: \( x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty) \)
Неравенство от вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \) е еквивалентно на системата:
\[ \begin{cases} f(x) \ge 0 & \text{(подкоренната величина е неотрицателна)} \\ g(x) > 0 & \text{(дясната страна трябва да е положителна)} \\ f(x) < (g(x))^2 & \text{(повдигаме на квадрат)} \end{cases} \]
Неравенство от вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) е еквивалентно на обединението на две системи:
\[ \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \]
Да решим \( \sqrt{x+2} < 3 \).
\[ \begin{cases} x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 \\ 3 > 0 \text{ (вярно е)} \\ x+2 < 3^2 \implies x+2 < 9 \implies x < 7 \end{cases} \]
Сечението на решенията е \( x \in [-2, 7) \).
Решете неравенството \( \sqrt{2x-1} \ge 3 \).
Тъй като \( g(x) = 3 \ge 0 \), решаваме само втората система:
\[ \begin{cases} 2x-1 \ge 0 & \text{(от ДС)} \\ 2x-1 \ge 3^2 \end{cases} \iff 2x-1 \ge 9 \iff 2x \ge 10 \iff x \ge 5 \]
Отговор: \( x \in [5, \infty) \)
Неравенство от вида \( a^{f(x)} < a^{g(x)} \) се решава така:
- Ако основата \( a > 1 \), знакът на неравенството се запазва: \( f(x) < g(x) \).
- Ако основата \( 0 < a < 1 \), знакът на неравенството се обръща: \( f(x) > g(x) \).
Да решим \( (0.5)^{x-1} > (0.5)^2 \).
Основата \( a=0.5 \) е между 0 и 1, затова обръщаме знака: \[ x-1 < 2 \implies x < 3 \implies x \in (-\infty, 3) \]
Основата \( a=0.5 \) е между 0 и 1, затова обръщаме знака: \[ x-1 < 2 \implies x < 3 \implies x \in (-\infty, 3) \]
Решете неравенството \( 5^{2x} \le 125 \).
Представяме дясната страна като степен на 5: \( 125 = 5^3 \).
\[ 5^{2x} \le 5^3 \]
Основата \( a=5 > 1 \), затова запазваме знака:
\[ 2x \le 3 \implies x \le 1.5 \]
Отговор: \( x \in (-\infty, 1.5] \)
Първата стъпка винаги е намиране на дефиниционно множество (ДС) – аргументите на логаритмите трябва да са положителни!
Неравенство от вида \( \log_a f(x) < \log_a g(x) \) се решава така:
- Ако основата \( a > 1 \), знакът се запазва: \( f(x) < g(x) \).
- Ако основата \( 0 < a < 1 \), знакът се обръща: \( f(x) > g(x) \).
Да решим \( \log_3(x-1) < 2 \).
1. ДС: \( x-1 > 0 \implies x > 1 \).
2. Решаваме неравенството: \[ \log_3(x-1) < \log_3(3^2) \implies \log_3(x-1) < \log_3(9) \] Основата \( a=3 > 1 \), запазваме знака: \[ x-1 < 9 \implies x < 10 \] 3. Сечение на ДС и решението: \( x \in (1, 10) \).
1. ДС: \( x-1 > 0 \implies x > 1 \).
2. Решаваме неравенството: \[ \log_3(x-1) < \log_3(3^2) \implies \log_3(x-1) < \log_3(9) \] Основата \( a=3 > 1 \), запазваме знака: \[ x-1 < 9 \implies x < 10 \] 3. Сечение на ДС и решението: \( x \in (1, 10) \).
Решете неравенството \( \log_{1/2}(x) \ge -3 \).
1. ДС: \( x > 0 \).
2. Решаваме: \( \log_{1/2}(x) \ge \log_{1/2}((1/2)^{-3}) \implies \log_{1/2}(x) \ge \log_{1/2}(8) \).
Основата \( a=1/2 < 1 \), обръщаме знака: \[ x \le 8 \] 3. Сечение на ДС и решението: \( x \in (0, 8] \).
2. Решаваме: \( \log_{1/2}(x) \ge \log_{1/2}((1/2)^{-3}) \implies \log_{1/2}(x) \ge \log_{1/2}(8) \).
Основата \( a=1/2 < 1 \), обръщаме знака: \[ x \le 8 \] 3. Сечение на ДС и решението: \( x \in (0, 8] \).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете показателното неравенство \( 7^{x^2-3x-2} \le 49 \).
\[ 7^{x^2-3x-2} \le 7^2 \]
Основата е \(7 > 1\), следователно запазваме знака:
\[ x^2 - 3x - 2 \le 2 \]
\[ x^2 - 3x - 4 \le 0 \]
Корените на \(x^2 - 3x - 4 = 0\) са \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 4\).
Параболата е обърната нагоре, следователно неравенството е изпълнено между корените.
Отговор: \( x \in [-1, 4] \)
Отговор: \( x \in [-1, 4] \)
Средна: Решете ирационалното неравенство \( \sqrt{x^2-8x} > 3 \).
Дясната страна \( g(x) = 3 \) е положителна. Трябва да са изпълнени:
\[ \begin{cases} x^2 - 8x \ge 0 & \text{(ДС)} \\ x^2 - 8x > 3^2 & \text{(повдигаме на квадрат)} \end{cases} \]
Второто неравенство \( x^2 - 8x - 9 > 0 \) е по-силно от първото, затова решаваме само него.
Корените на \(x^2 - 8x - 9 = 0\) са \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 9\).
Неравенството е изпълнено извън корените.
Отговор: \( x \in (-\infty, -1) \cup (9, \infty) \)
Отговор: \( x \in (-\infty, -1) \cup (9, \infty) \)
Трудна: Решете неравенството \( 4^x - 5 \cdot 2^x + 6 \le 0 \). (Забележка: \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\))
Неравенството е \( (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 6 \le 0 \).
1. Полагаме \( t = 2^x \). Тъй като \(2^x\) е винаги положително, то \(t > 0\).
Получаваме квадратното неравенство: \( t^2 - 5t + 6 \le 0 \).
2. Корените на \(t^2 - 5t + 6 = 0\) са \(t_1 = 2\) и \(t_2 = 3\). Неравенството е изпълнено за \( t \in [2, 3] \).
3. Връщаме се към \(x\): \[ 2 \le t \le 3 \implies 2 \le 2^x \le 3 \] Разделяме го на две неравенства:
Отговор: \( x \in [1, \log_2 3] \)
1. Полагаме \( t = 2^x \). Тъй като \(2^x\) е винаги положително, то \(t > 0\).
Получаваме квадратното неравенство: \( t^2 - 5t + 6 \le 0 \).
2. Корените на \(t^2 - 5t + 6 = 0\) са \(t_1 = 2\) и \(t_2 = 3\). Неравенството е изпълнено за \( t \in [2, 3] \).
3. Връщаме се към \(x\): \[ 2 \le t \le 3 \implies 2 \le 2^x \le 3 \] Разделяме го на две неравенства:
- \( 2^x \ge 2^1 \implies x \ge 1 \)
- \( 2^x \le 3 \implies \log_2(2^x) \le \log_2(3) \implies x \le \log_2 3 \)
Отговор: \( x \in [1, \log_2 3] \)
