Най-важното от урока
За да решите задачи с правилна пирамида, използвайте следните основни формули:
- Обем: \(V = \frac{B \cdot h}{3}\)
- Околна повърхнина: \(S = \frac{P \cdot k}{2}\)
- Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B\)
- Лице на основата: зависи от формата (напр. \(B = b^2\) за квадрат, \(B=\frac{P \cdot a}{2}\) за n-ъгълник).
Лицето на основата на правилна пирамида се намира по формулата за лице на съответния правилен многоъгълник.
\[ B = \frac{P \cdot a}{2} \]
където \(P\) е периметърът на основата, а \(a\) е апотемата на основата. За квадрат с основен ръб \(b\), формулата е \(B = b^2\).
За правилна десетоъгълна пирамида с периметър \(P = 52 \text{ cm}\) и апотема на основата \(a = 8 \text{ cm}\), лицето на основата е:
\[ B = \frac{52 \cdot 8}{2} = 208 \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на основата на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб \(b = 7 \text{ cm}\).
Тъй като основата е квадрат, използваме формулата \(B = b^2\).
\[ B = 7^2 = 49 \text{ cm}^2 \]
Околната повърхнина е сборът от лицата на всички околни стени на пирамидата.
\[ S = \frac{P \cdot k}{2} \]
където \(P\) е периметърът на основата, а \(k\) е апотемата на пирамидата.
Дадена е правилна десетоъгълна пирамида с \(S = 260 \text{ cm}^2\) и \(P = 52 \text{ cm}\). Можем да намерим апотемата на пирамидата \(k\):
\[ 260 = \frac{52 \cdot k}{2} \Rightarrow 260 = 26 \cdot k \Rightarrow k = 10 \text{ cm} \]
Намерете околната повърхнина на правилна шестоъгълна пирамида с периметър на основата \(P=30 \text{ cm}\) и апотема на пирамидата \(k=8 \text{ cm}\).
\[ S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{30 \cdot 8}{2} = 120 \text{ cm}^2 \]
Пълната повърхнина е сборът от околната повърхнина и лицето на основата.
\[ S_1 = S + B \]
Правилна шестоъгълна пирамида има \(S = 69 \text{ cm}^2\) и \(B = 55,2 \text{ cm}^2\). Пълната й повърхнина е:
\[ S_1 = 69 + 55,2 = 124,2 \text{ cm}^2 \]
Дадена е пирамида с околна повърхнина \(S = 150 \text{ cm}^2\) и лице на основата \(B = 60 \text{ cm}^2\). Намерете пълната ѝ повърхнина \(S_1\).
\[ S_1 = S + B = 150 + 60 = 210 \text{ cm}^2 \]
Обемът на всяка пирамида е една трета от произведението на лицето на основата и височината на пирамидата.
\[ V = \frac{B \cdot h}{3} \]
Правилна триъгълна пирамида има \(V = 519 \text{ cm}^3\) и \(h = 12 \text{ cm}\). Можем да намерим лицето на основата \(B\):
\[ 519 = \frac{B \cdot 12}{3} \Rightarrow 519 = 4B \Rightarrow B = 129,75 \text{ cm}^2 \]
Намерете обема на пирамида с лице на основата \(B=45 \text{ cm}^2\) и височина \(h=10 \text{ cm}\).
\[ V = \frac{B \cdot h}{3} = \frac{45 \cdot 10}{3} = 15 \cdot 10 = 150 \text{ cm}^3 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете пълната повърхнина \(S_1\) на правилна пирамида с околна повърхнина \(S = 200 \text{ cm}^2\) и лице на основата \(B = 75 \text{ cm}^2\).
Използваме формулата \(S_1 = S + B\).
\[ S_1 = 200 + 75 = 275 \text{ cm}^2 \]
Средна: Намерете обема \(V\) на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб \(b=9 \text{ cm}\) и височина \(h=5 \text{ cm}\).
Първо намираме лицето на основата: \(B = b^2 = 9^2 = 81 \text{ cm}^2\).
След това използваме формулата за обем: \[ V = \frac{B \cdot h}{3} = \frac{81 \cdot 5}{3} = 27 \cdot 5 = 135 \text{ cm}^3 \]
След това използваме формулата за обем: \[ V = \frac{B \cdot h}{3} = \frac{81 \cdot 5}{3} = 27 \cdot 5 = 135 \text{ cm}^3 \]
Трудна: Правилна петоъгълна пирамида има околна повърхнина \(S = 150 \text{ cm}^2\). Основният й ръб е \(b = 6\) cm. Намерете апотемата на пирамидата \(k\).
Първо намираме периметъра на основата, която е правилен петоъгълник:
\[ P = 5 \cdot b = 5 \cdot 6 = 30 \text{ cm} \]
От формулата за околна повърхнина \(S = \frac{P \cdot k}{2}\) изразяваме \(k\):
\[ k = \frac{2S}{P} = \frac{2 \cdot 150}{30} = \frac{300}{30} = 10 \text{ cm} \]
