Най-важното от урока
Ключови стъпки за решаване на линейни уравнения:
- Разкриване на скоби: \(a(b+c) \rightarrow ab+ac\). Пример: \(5(x-3) \rightarrow 5x - 15\).
- Премахване на знаменатели: Умножаваме цялото уравнение с НОК на знаменателите. Пример: \(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1 \xrightarrow{\text{умножаваме с 6}} 3x+2x=6\).
- Групиране: Прехвърляме членовете с \(x\) вляво, а числата вдясно (със смяна на знака). Пример: \(5x - 15 = 2x \rightarrow 5x-2x=15\).
- Опростяване и намиране на \(x\): \(3x = 15 \rightarrow x = \frac{15}{3} \rightarrow x=5\).
Целта при решаване на уравнение е да изолираме неизвестното (\(x\)) от едната страна. Когато прехвърляме член (събираемо) от едната страна на равенството в другата, винаги сменяме неговия знак.
Събираме всички членове, съдържащи \(x\), от лявата страна.
Събираме всички свободни членове (числа) от дясната страна.
При уравнението \(5x + 8 = 2x - 13\):
1. Прехвърляме \(2x\) вляво като \(-2x\).
2. Прехвърляме \(+8\) вдясно като \(-8\).
Получаваме: \(5x - 2x = -13 - 8\)
Опростяваме: \(3x = -21\)
Намираме \(x\): \(x = -21 : 3 \Rightarrow x = -7\)
1. Прехвърляме \(2x\) вляво като \(-2x\).
2. Прехвърляме \(+8\) вдясно като \(-8\).
Получаваме: \(5x - 2x = -13 - 8\)
Опростяваме: \(3x = -21\)
Намираме \(x\): \(x = -21 : 3 \Rightarrow x = -7\)
Решете уравнението \(10x - 5 = 4x + 19\).
\(10x - 4x = 19 + 5\)
\(6x = 24\)
\(x = 4\)
\(6x = 24\)
\(x = 4\)
Ако в уравнението има скоби, първо ги разкриваме, като умножим числото пред скобата с всеки член вътре в нея, спазвайки правилото за знаците. Формулата е \(a(b+c) = ab+ac\).
При уравнението \(4(x - 2) = 6x + 10\):
1. Разкриваме скобата: \(4 \cdot x - 4 \cdot 2 \Rightarrow 4x - 8\)
2. Уравнението става: \(4x - 8 = 6x + 10\)
3. Решаваме го по познатия начин: \(4x - 6x = 10 + 8 \Rightarrow -2x = 18 \Rightarrow x = -9\)
1. Разкриваме скобата: \(4 \cdot x - 4 \cdot 2 \Rightarrow 4x - 8\)
2. Уравнението става: \(4x - 8 = 6x + 10\)
3. Решаваме го по познатия начин: \(4x - 6x = 10 + 8 \Rightarrow -2x = 18 \Rightarrow x = -9\)
Решете уравнението \(3(x - 2) = 5(x + 4)\).
\(3x - 6 = 5x + 20\)
\(3x - 5x = 20 + 6\)
\(-2x = 26\)
\(x = -13\)
\(3x - 5x = 20 + 6\)
\(-2x = 26\)
\(x = -13\)
Когато в уравнението има дроби, се освобождаваме от знаменателите, като умножим двете страни на уравнението с Най-малкото Общо Кратно (НОК) на всички знаменатели.
Да решим \(\frac{3x}{4} - \frac{3x}{2} = \frac{5x}{6} + 1\).
1. Намираме НОК на знаменателите 4, 2 и 6. НОК(4, 2, 6) = 12.
2. Умножаваме всеки член с 12: \[ 12 \cdot \frac{3x}{4} - 12 \cdot \frac{3x}{2} = 12 \cdot \frac{5x}{6} + 12 \cdot 1 \]
3. Извършваме съкращенията и получаваме уравнение без дроби: \[ 3 \cdot 3x - 6 \cdot 3x = 2 \cdot 5x + 12 \] \[ 9x - 18x = 10x + 12 \]
4. Решаваме: \(-9x = 10x + 12 \Rightarrow -19x = 12 \Rightarrow x = -\frac{12}{19}\)
1. Намираме НОК на знаменателите 4, 2 и 6. НОК(4, 2, 6) = 12.
2. Умножаваме всеки член с 12: \[ 12 \cdot \frac{3x}{4} - 12 \cdot \frac{3x}{2} = 12 \cdot \frac{5x}{6} + 12 \cdot 1 \]
3. Извършваме съкращенията и получаваме уравнение без дроби: \[ 3 \cdot 3x - 6 \cdot 3x = 2 \cdot 5x + 12 \] \[ 9x - 18x = 10x + 12 \]
4. Решаваме: \(-9x = 10x + 12 \Rightarrow -19x = 12 \Rightarrow x = -\frac{12}{19}\)
Решете уравнението \(\frac{x}{5} + 2 = \frac{x}{2}\).
НОК(5, 2) = 10. Умножаваме с 10:
\(10 \cdot \frac{x}{5} + 10 \cdot 2 = 10 \cdot \frac{x}{2}\)
\(2x + 20 = 5x\)
\(20 = 5x - 2x\)
\(20 = 3x \Rightarrow x = \frac{20}{3}\)
\(10 \cdot \frac{x}{5} + 10 \cdot 2 = 10 \cdot \frac{x}{2}\)
\(2x + 20 = 5x\)
\(20 = 5x - 2x\)
\(20 = 3x \Rightarrow x = \frac{20}{3}\)
Текстовите задачи се решават, като първо се преведат на езика на математиката.
Определяме кое е неизвестното и го означаваме с \(x\).
Изразяваме всички останали величини и условия от задачата чрез \(x\), за да съставим уравнение.
Решаваме полученото уравнение.
Задача: Намислих едно число. Умножих го по 7. Полученото число намалих с 15 и получих удвоеното намислено число. Кое е числото?
1. Неизвестното е "намисленото число" \(\rightarrow x\)
2. Условието "Умножих го по 7 (\(7x\)), намалих с 15 (\(-15\)) и получих (=) удвоеното намислено число (\(2x\))" води до уравнението: \[ 7x - 15 = 2x \]
3. Решение: \(7x - 2x = 15 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3\). Намисленото число е 3.
1. Неизвестното е "намисленото число" \(\rightarrow x\)
2. Условието "Умножих го по 7 (\(7x\)), намалих с 15 (\(-15\)) и получих (=) удвоеното намислено число (\(2x\))" води до уравнението: \[ 7x - 15 = 2x \]
3. Решение: \(7x - 2x = 15 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3\). Намисленото число е 3.
Едната страна на правоъгълник е с 5 см по-дълга от другата. Намерете страните, ако обиколката му е 38 см.
Нека по-късата страна е \(x\) см. Тогава по-дългата е \((x+5)\) см.
Формулата за обиколка е \(P = 2(a+b)\).
Уравнението е: \(2(x + (x+5)) = 38\)
\(2(2x+5) = 38\)
\(4x + 10 = 38\)
\(4x = 28 \Rightarrow x=7\).
Отговор: Страните са 7 см и 12 см.
Формулата за обиколка е \(P = 2(a+b)\).
Уравнението е: \(2(x + (x+5)) = 38\)
\(2(2x+5) = 38\)
\(4x + 10 = 38\)
\(4x = 28 \Rightarrow x=7\).
Отговор: Страните са 7 см и 12 см.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(9x + 3 = 5x - 17\).
\(9x - 5x = -17 - 3\)
\(4x = -20\)
\(x = -5\)
\(4x = -20\)
\(x = -5\)
Средна: Решете уравнението \(7(x+2) - 5(x+3) = 5(x-2)\).
\(7x + 14 - 5x - 15 = 5x - 10\)
\(2x - 1 = 5x - 10\)
\(10 - 1 = 5x - 2x\)
\(9 = 3x\)
\(x = 3\)
\(2x - 1 = 5x - 10\)
\(10 - 1 = 5x - 2x\)
\(9 = 3x\)
\(x = 3\)
Трудна: Намерете корена на уравнението \(\frac{2x-1}{3} - \frac{x+2}{6} = \frac{x}{2}\).
НОК(3, 6, 2) = 6. Умножаваме всичко по 6:
\(6 \cdot \frac{2x-1}{3} - 6 \cdot \frac{x+2}{6} = 6 \cdot \frac{x}{2}\)
\(2(2x-1) - 1(x+2) = 3x\)
\(4x - 2 - x - 2 = 3x\)
\(3x - 4 = 3x\)
\(-4 = 3x - 3x\)
\(-4 = 0\)
Това е невярно числово равенство, следователно уравнението няма решение.
\(6 \cdot \frac{2x-1}{3} - 6 \cdot \frac{x+2}{6} = 6 \cdot \frac{x}{2}\)
\(2(2x-1) - 1(x+2) = 3x\)
\(4x - 2 - x - 2 = 3x\)
\(3x - 4 = 3x\)
\(-4 = 3x - 3x\)
\(-4 = 0\)
Това е невярно числово равенство, следователно уравнението няма решение.
