Най-важното от урока
Основни елементи: Конусът има радиус (\(r\)), височина (\(h\)) и образуваща (\(l\)).
Ключова връзка: Елементите \(r, h, l\) образуват правоъгълен триъгълник, затова винаги е в сила: \(l^2 = r^2 + h^2\). Пример: ако \(r=3, h=4\), то \(l=5\).
Получаване: Конус се получава при завъртане на правоъгълен триъгълник около катет.
Развивка: Състои се от кръг (основата) и кръгов сектор (околната повърхнина).
Ключова връзка: Елементите \(r, h, l\) образуват правоъгълен триъгълник, затова винаги е в сила: \(l^2 = r^2 + h^2\). Пример: ако \(r=3, h=4\), то \(l=5\).
Получаване: Конус се получава при завъртане на правоъгълен триъгълник около катет.
Развивка: Състои се от кръг (основата) и кръгов сектор (околната повърхнина).
Прав кръгов конус е геометрично тяло, съставено от кръгла основа и околна (конична) повърхнина, която се събира в една точка, наречена връх.
Основните му елементи са:
- \(r\) – радиус на основата.
- \(h\) – височина (разстоянието от върха до центъра на основата). При правия конус височината е перпендикулярна на основата.
- \(l\) – образуваща (разстоянието от върха до произволна точка от окръжността на основата).
Шапка за рожден ден има форма на конус. Ръбът от върха до основата е образуващата (\(l\)), височината (\(h\)) е перпендикулярът от върха към центъра на отвора, а радиусът (\(r\)) е половината от диаметъра на отвора.
Как се нарича отсечката, която свързва върха на конуса с центъра на основата му?
Отговор: Височина (\(h\)).
Прав кръгов конус може да се получи чрез пълно завъртане на правоъгълен триъгълник около един от неговите катети.
При завъртане на \(\triangle AOM\) (\(\angle O = 90^\circ\)) около катета \(OM\):
- Катетът \(OM\) става височина \(h\).
- Катетът \(OA\) става радиус \(r\).
- Хипотенузата \(AM\) става образуваща \(l\).
Тъй като \(r\), \(h\) и \(l\) образуват правоъгълен триъгълник, те са свързани чрез Питагоровата теорема:
\[ l^2 = r^2 + h^2 \]
Ако правоъгълен триъгълник с катети 3 см и 4 см се завърти около катета с дължина 4 см, ще се получи конус с радиус \(r=3\) см, височина \(h=4\) см и образуваща \(l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\) см.
Намерете височината на конус с радиус \(r=6\) см и образуваща \(l=10\) см.
От \(l^2 = r^2 + h^2 \Rightarrow 10^2 = 6^2 + h^2 \Rightarrow 100 = 36 + h^2\).
\(h^2 = 100 - 36 = 64\).
Отговор: \(h = \sqrt{64} = 8\) см.
\(h^2 = 100 - 36 = 64\).
Отговор: \(h = \sqrt{64} = 8\) см.
Развивката на околната повърхнина и основата на конуса се състои от две фигури: кръгов сектор и кръг.
- Радиусът на кръговия сектор е равен на образуващата (\(l\)) на конуса.
- Кръгът е основата на конуса с радиус \(r\).
Дължината на дъгата на кръговия сектор е равна на дължината на окръжността на основата (\(2\pi r\)).
Развивката на конус с \(r=3\) см и \(l=8\) см се състои от кръг с радиус 3 см и кръгов сектор с радиус 8 см. Дължината на дъгата на сектора е \(2\pi \cdot 3 = 6\pi\) см.
От какви фигури се състои пълната развивка на конус?
Отговор: От кръг (основата) и кръгов сектор (околната повърхнина).
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е конус с радиус \(r=5\) см и височина \(h=12\) см. Намерете дължината на образуващата \(l\).
Използваме Питагоровата теорема: \(l^2 = r^2 + h^2\).
\(l^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\).
\(l = \sqrt{169} = 13\) см.
\(l^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\).
\(l = \sqrt{169} = 13\) см.
Средна: Правоъгълен триъгълник с катети \(a=9\) см и \(b=12\) см е завъртян около катета \(a\). Намерете елементите \(r, h\) и \(l\) на получения конус.
Тъй като въртенето е около катета \(a\), то той е височината: \(h = a = 9\) см.
Другият катет \(b\) е радиусът: \(r = b = 12\) см.
Образуващата \(l\) е хипотенузата на триъгълника:
\(l^2 = r^2 + h^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\).
\(l = \sqrt{225} = 15\) см.
Другият катет \(b\) е радиусът: \(r = b = 12\) см.
Образуващата \(l\) е хипотенузата на триъгълника:
\(l^2 = r^2 + h^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\).
\(l = \sqrt{225} = 15\) см.
Трудна: Дължината на дъгата на кръговия сектор от развивката на конус е \(10\pi\) см. Какъв е радиусът на основата на този конус?
Дължината на дъгата на сектора е равна на дължината на окръжността на основата, която се намира по формулата \(C = 2\pi r\).
Приравняваме двете стойности: \(2\pi r = 10\pi\).
Делим двете страни на \(2\pi\): \(r = \frac{10\pi}{2\pi} = 5\) см.
Отговор: Радиусът на основата е 5 см.
Приравняваме двете стойности: \(2\pi r = 10\pi\).
Делим двете страни на \(2\pi\): \(r = \frac{10\pi}{2\pi} = 5\) см.
Отговор: Радиусът на основата е 5 см.
