Най-важното от урока
Основно свойство: От пропорцията \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) следва, че \( a \cdot d = b \cdot c \).
Намиране на неизвестен член: За да намерим \(x\) в \( \frac{x}{3} = \frac{8}{12} \), използваме основното свойство: \( x \cdot 12 = 3 \cdot 8 \), откъдето \( x = \frac{24}{12} = 2 \).
Приложение: Намирането на неизвестен член на пропорция се използва за решаване на много практически задачи, свързани с цени, разстояния, рецепти и др.
Намиране на неизвестен член: За да намерим \(x\) в \( \frac{x}{3} = \frac{8}{12} \), използваме основното свойство: \( x \cdot 12 = 3 \cdot 8 \), откъдето \( x = \frac{24}{12} = 2 \).
Приложение: Намирането на неизвестен член на пропорция се използва за решаване на много практически задачи, свързани с цени, разстояния, рецепти и др.
Ако две отношения са равни, те образуват пропорция. Основното свойство на всяка пропорция \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) е, че произведението на крайните членове (\(a \cdot d\)) е равно на произведението на средните членове (\(b \cdot c\)).
От пропорцията \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) следва равенството \( a \cdot d = b \cdot c \).
Да намерим неизвестния член \(x\) в пропорцията \( \frac{x}{15} = \frac{8.04}{12} \).
Прилагаме основното свойство: \[ x \cdot 12 = 15 \cdot 8.04 \] За да намерим \(x\), разделяме двете страни на 12: \[ x = \frac{15 \cdot 8.04}{12} = 10.05 \]
Прилагаме основното свойство: \[ x \cdot 12 = 15 \cdot 8.04 \] За да намерим \(x\), разделяме двете страни на 12: \[ x = \frac{15 \cdot 8.04}{12} = 10.05 \]
Намерете \(x\) в пропорцията \( \frac{x}{5} = \frac{21}{7} \).
От основното свойство имаме \( x \cdot 7 = 5 \cdot 21 \).
Следователно \( x = \frac{5 \cdot 21}{7} = 5 \cdot 3 = 15 \).
Следователно \( x = \frac{5 \cdot 21}{7} = 5 \cdot 3 = 15 \).
Всеки член на пропорцията \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) може да се изрази чрез останалите три.
\[ a = \frac{b \cdot c}{d} \]
\[ b = \frac{a \cdot d}{c} \]
\[ c = \frac{a \cdot d}{b} \]
\[ d = \frac{b \cdot c}{a} \]
Дадена е пропорцията \( \frac{24}{x} = \frac{8}{15} \). За да намерим \(x\), използваме формулата за \(b\):
\[ x = \frac{24 \cdot 15}{8} = 3 \cdot 15 = 45 \]
Като използвате директна формула, намерете \(y\) от пропорцията \( \frac{10}{y} = \frac{5}{4} \).
Прилагаме формулата \( b = \frac{a \cdot d}{c} \):
\[ y = \frac{10 \cdot 4}{5} = 2 \cdot 4 = 8 \]
\[ y = \frac{10 \cdot 4}{5} = 2 \cdot 4 = 8 \]
Всеки от четирите члена на една пропорция се нарича четвърта пропорционална величина на останалите три.
В пропорцията \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\), числото 10 е четвърта пропорционална на 2, 5 и 4. Числото 5 е четвърта пропорционална на 2, 4 и 10.
Намерете четвъртата пропорционална величина на числата 3, 5 и 6.
Записваме пропорцията \( \frac{3}{5} = \frac{6}{x} \). Търсим \(x\).
\( x = \frac{5 \cdot 6}{3} = \frac{30}{3} = 10 \).
Отговор: 10.
\( x = \frac{5 \cdot 6}{3} = \frac{30}{3} = 10 \).
Отговор: 10.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете \(x\) от пропорцията \( \frac{5}{x} = \frac{10}{14} \).
Прилагаме основното свойство: \( 5 \cdot 14 = 10 \cdot x \).
\( 70 = 10x \)
\( x = \frac{70}{10} = 7 \).
\( 70 = 10x \)
\( x = \frac{70}{10} = 7 \).
Средна: За 5 кг ябълки са платени 12 лв. Колко ще струват 8 кг от същите ябълки?
Нека цената на 8 кг ябълки е \(x\) лв. Съставяме пропорция, като сравняваме отношението на килограмите към отношението на цените:
\[ \frac{5 \text{ кг}}{8 \text{ кг}} = \frac{12 \text{ лв}}{x \text{ лв}} \]
\[ 5 \cdot x = 8 \cdot 12 \]
\[ 5x = 96 \]
\[ x = \frac{96}{5} = 19.2 \]
Отговор: 8 кг ябълки ще струват 19,20 лв.
Трудна: Намерете \(x\) и \(y\), ако са дадени пропорциите: \( \frac{x}{9} = \frac{2}{3} \) и \( \frac{x}{y} = \frac{4}{5} \).
Първо намираме \(x\) от първата пропорция:
\[ x = \frac{9 \cdot 2}{3} = 3 \cdot 2 = 6 \]
След това заместваме намерената стойност на \(x\) във втората пропорция:
\[ \frac{6}{y} = \frac{4}{5} \]
Сега намираме \(y\):
\[ y = \frac{6 \cdot 5}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 \]
Отговор: \(x=6\) и \(y=7.5\).
