51. Дотук Знаем

а) \( (x^2 - 1)(x^2 + 3) = (x^2 + 1)^2 + x \)

Стъпка 1: Разкриване на скобите

В лявата страна умножаваме многочлените член по член: \[ (x^2 - 1)(x^2 + 3) = x^4 + 3x^2 - x^2 - 3 \] В дясната страна прилагаме формулата за съкратено умножение за сбор на квадрат \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \[ (x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1 \] Записваме уравнението с разкритите скоби: \[ x^4 + 3x^2 - x^2 - 3 = x^4 + 2x^2 + 1 + x \]

Стъпка 2: Привеждане на подобни едночлени в двете страни

\[ x^4 + 2x^2 - 3 = x^4 + 2x^2 + x + 1 \]

Стъпка 3: Прехвърляне на членовете и съкращаване на противоположни едночлени

Прехвърляме членовете с неизвестното \( x \) в лявата страна, а свободните членове – в дясната страна: \[ \cancel{x^4} - \cancel{x^4} + \cancel{2x^2} - \cancel{2x^2} - x = 1 + 3 \] \[ -x = 4 \]

Стъпка 4: Намиране на корена

Умножаваме двете страни по \( -1 \): \[ x = -4 \]

б) \( (2-x)(x+2)(x-1) = x^2(1-x) \)

Стъпка 1: Прилагане на формули за съкратено умножение и разкриване на скоби

За първите два множителя прилагаме формулата за разлика на квадрати \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \[ (2-x)(2+x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2 \] Уравнението добива вида: \[ (4 - x^2)(x - 1) = x^2(1 - x) \] Разкриваме скобите в двете страни: \[ 4x - 4 - x^3 + x^2 = x^2 - x^3 \]

Стъпка 2: Прехвърляне на членовете и съкращаване на противоположни едночлени

Прехвърляме всички членове с \( x \) в лявата страна, а свободните членове в дясната: \[ -\cancel{x^3} + \cancel{x^3} + \cancel{x^2} - \cancel{x^2} + 4x = 4 \] \[ 4x = 4 \]

Стъпка 3: Намиране на корена

Разделяме двете страни на \( 4 \): \[ x = \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{4}_1} \] \[ x = 1 \]

а)

\[ x^4 + 2x^2 - 3 = x^4 + 2x^2 + x + 1 \] \[ \cancel{x^4} - \cancel{x^4} + \cancel{2x^2} - \cancel{2x^2} - x = 1 + 3 \] \[ -x = 4 \Rightarrow x = -4 \]

б)

\[ (4 - x^2)(x - 1) = x^2 - x^3 \] \[ 4x - 4 - x^3 + x^2 = x^2 - x^3 \] \[ -\cancel{x^3} + \cancel{x^3} + \cancel{x^2} - \cancel{x^2} + 4x = 4 \] \[ 4x = 4 \Rightarrow x = 1 \]