Най-важното от урока
Определение: Квадратът е фигура с 4 равни страни и 4 прави ъгъла. Пример: фигура със страни по 5 см и ъгли по \(90^\circ\).
Свойства: Диагоналите са равни, перпендикулярни, разполовяват се и делят ъглите на по \(45^\circ\).
Признаци: Квадрат е правоъгълник с равни съседни страни или ромб с прав ъгъл.
Свойства: Диагоналите са равни, перпендикулярни, разполовяват се и делят ъглите на по \(45^\circ\).
Признаци: Квадрат е правоъгълник с равни съседни страни или ромб с прав ъгъл.
Квадратът е четириъгълник с четири равни страни и четири прави ъгъла (\(90^\circ\)).
Квадратът може да се определи и като:
- Правоъгълник с две равни съседни страни.
- Ромб с един прав ъгъл.
Ако една фигура има четири страни с дължина по 5 см и всичките ѝ ъгли са по \(90^\circ\), то тя е квадрат.
Ако периметърът на един квадрат е 36 см, каква е дължината на страната му?
Периметърът на квадрат е \(P = 4 \cdot a\).
\(36 = 4 \cdot a \Rightarrow a = 36 : 4 = 9\) см.
Отговор: Страната е 9 см.
\(36 = 4 \cdot a \Rightarrow a = 36 : 4 = 9\) см.
Отговор: Страната е 9 см.
Квадратът притежава всички свойства на успоредника, правоъгълника и ромба.
- Равни страни: Всичките четири страни са равни.
- Равни ъгли: Всичките четири ъгъла са прави (\(90^\circ\)).
- Диагонали: Диагоналите са равни, перпендикулярни, взаимно се разполовяват и са ъглополовящи на ъглите на квадрата.
В квадрат ABCD, диагоналите AC и BD се пресичат под ъгъл \(90^\circ\). Ъгълът, който диагоналът AC образува със страната AB (\(\angle BAC\)), е \(45^\circ\).
В квадрат диагоналът е с дължина 12 см. Каква е дължината на другия диагонал и какъв е ъгълът между тях?
Отговор: В квадрата диагоналите са равни, следователно и другият е 12 см. Те винаги са перпендикулярни, така че ъгълът между тях е \(90^\circ\).
За да докажем, че един четириъгълник е квадрат, можем да използваме следните признаци:
- Ако един правоъгълник има две равни съседни страни, той е квадрат.
- Ако един ромб има прав ъгъл, той е квадрат.
- Ако в един успоредник диагоналите са равни и перпендикулярни, той е квадрат.
Даден е ромб с ъгъл \(90^\circ\). Тъй като ромбът има равни страни, а сега и прав ъгъл, той отговаря на определението за квадрат.
Имаме правоъгълник, на който единият диагонал е перпендикулярен на другия. Каква фигура е това?
Отговор: Това е квадрат. Правоъгълник, чиито диагонали са перпендикулярни, е квадрат (защото това свойство го превръща в ромб, а правоъгълник, който е и ромб, е квадрат).
Задачи за упражнение
Лесна: Квадрат има страна 10 см. Намерете неговия периметър и лице.
Периметър: \(P = 4 \cdot a = 4 \cdot 10 = 40\) см.
Лице: \(S = a^2 = 10^2 = 100\) кв. см.
Лице: \(S = a^2 = 10^2 = 100\) кв. см.
Средна: Диагоналите на квадрат ABCD се пресичат в точка O. Разстоянието от точка O до страната AB е 5 см. Намерете лицето на квадрата.
Разстоянието от центъра O до една страна е половината от дължината на страната на квадрата.
Следователно страната \(a = 2 \cdot 5 = 10\) см.
Лицето е \(S = a^2 = 10^2 = 100\) кв. см.
Следователно страната \(a = 2 \cdot 5 = 10\) см.
Лицето е \(S = a^2 = 10^2 = 100\) кв. см.
Трудна: Докажете, че правоъгълник, чиито диагонали са ъглополовящи на ъглите му, е квадрат.
Нека правоъгълникът е ABCD с диагонал AC. По условие AC е ъглополовяща на \(\angle A\).
Тъй като \(\angle A = 90^\circ\) (от правоъгълник), то \(\angle BAC = 90^\circ / 2 = 45^\circ\).
Разглеждаме \(\Delta ABC\). Той е правоъгълен (\(\angle B = 90^\circ\)).
Знаем, че \(\angle BAC = 45^\circ\), следователно \(\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).
Тъй като \(\Delta ABC\) има два равни ъгъла, той е равнобедрен, т.е. \(AB = BC\).
Получихме, че правоъгълникът ABCD има две равни съседни страни. По признак, той е квадрат.
Тъй като \(\angle A = 90^\circ\) (от правоъгълник), то \(\angle BAC = 90^\circ / 2 = 45^\circ\).
Разглеждаме \(\Delta ABC\). Той е правоъгълен (\(\angle B = 90^\circ\)).
Знаем, че \(\angle BAC = 45^\circ\), следователно \(\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).
Тъй като \(\Delta ABC\) има два равни ъгъла, той е равнобедрен, т.е. \(AB = BC\).
Получихме, че правоъгълникът ABCD има две равни съседни страни. По признак, той е квадрат.
