Най-важното от урока
Ключови изводи: Тези две правила са взаимно свързани и важат за медиана към страна в триъгълник.
- Ако триъгълникът е правоъгълен \(\rightarrow\) медианата към хипотенузата е равна на половината от нея. (При \(AB=10\), \(CM=5\)).
- Ако медианата е равна на половината от страната \(\rightarrow\) триъгълникът е правоъгълен, с прав ъгъл срещу тази страна. (При \(AB=16, CM=8 \implies \angle C = 90^\circ\)).
Във всеки правоъгълен триъгълник, медианата към хипотенузата е равна на половината от дължината на хипотенузата.
Ако \(\triangle ABC\) е с \(\angle C = 90^\circ\) и \(CM\) е медиана, то:
\[ CM = \frac{1}{2} AB \]
Това означава, че \(CM = MA = MB\).
В правоъгълен \(\triangle ABC\) с хипотенуза \(AB = 20 \text{ cm}\), медианата \(CM\) към нея ще бъде:
\[ CM = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \text{ cm} \]
Даден е правоъгълен \(\triangle PQR\) с \(\angle R = 90^\circ\). Ако медианата \(RM\) е с дължина \(8\text{ cm}\), колко е дължината на хипотенузата \(PQ\)?
Тъй като \(RM = \frac{1}{2} PQ\), следва, че \(PQ = 2 \cdot RM\).
\(PQ = 2 \cdot 8 = 16 \text{ cm}\).
\(PQ = 2 \cdot 8 = 16 \text{ cm}\).
Ако в един триъгълник медианата към една от страните е равна на половината от тази страна, то ъгълът срещу страната е прав (\(90^\circ\)), а триъгълникът е правоъгълен.
Ако в \(\triangle ABC\) отсечката \(CM\) е медиана към страната \(AB\) и е изпълнено:
\[ CM = \frac{1}{2} AB \]
тогава \(\angle ACB = 90^\circ\).
В \(\triangle ABC\), страната \(AB\) е \(14\text{ cm}\), а медианата към нея \(CM\) е \(\text{ cm}\). Тъй като \(7 = \frac{14}{2}\), т.е. \(CM = \dfrac{1}{2}AB\), следва, че \(\angle ACB = 90^\circ\).
В \(\triangle XYZ\), медианата \(ZM\) към страната \(XY\) е \(4.5\text{ cm}\). Дължината на страната \(XY\) е \(9\text{ cm}\). Какъв е видът на \(\triangle XYZ\) според ъглите?
Проверяваме дали \(ZM = \dfrac{1}{2} XY\).
\(\dfrac{1}{2} XY = \dfrac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}\).
Тъй като \(ZM = 4.5 \text{ cm}\), условието е изпълнено. Следователно \(\triangle XYZ\) е правоъгълен с прав ъгъл при върха \(Z\).
\(\dfrac{1}{2} XY = \dfrac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}\).
Тъй като \(ZM = 4.5 \text{ cm}\), условието е изпълнено. Следователно \(\triangle XYZ\) е правоъгълен с прав ъгъл при върха \(Z\).
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\), хипотенузата \(AB\) е \(12,6 \text{ cm}\). Намерете дължината на медианата \(CM\).
Според теоремата за медиана към хипотенузата, \(CM = \frac{1}{2} AB\).
\(CM = \dfrac{12,6}{2} = 6,3 \text{ cm}\).
\(CM = \dfrac{12,6}{2} = 6,3 \text{ cm}\).
Средна: В \(\triangle ABC\), \(CM\) е медиана към страната \(AB\). Дадено е, че \(AB + CM = 18 \text{ cm}\) и \(CM = 6 \text{ cm}\). Докажете, че \(\triangle ABC\) е правоъгълен.
От \(AB + CM = 18\) и \(CM = 6\), намираме \(AB\):
\(AB + 6 = 18 \implies AB = 12 \text{ cm}\).
Сега проверяваме дали \(CM = \frac{1}{2} AB\):
\(\frac{1}{2} AB = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}\).
Тъй като \(CM = 6 \text{ cm}\), условието е изпълнено. Следователно, \(\triangle ABC\) е правоъгълен с \(\angle C = 90^\circ\).
\(AB + 6 = 18 \implies AB = 12 \text{ cm}\).
Сега проверяваме дали \(CM = \frac{1}{2} AB\):
\(\frac{1}{2} AB = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}\).
Тъй като \(CM = 6 \text{ cm}\), условието е изпълнено. Следователно, \(\triangle ABC\) е правоъгълен с \(\angle C = 90^\circ\).
Трудна: В правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) е построена медианата \(CM\) към хипотенузата \(AB\). Ако \(\angle A = 35^\circ\), намерете големината на \(\angle MCB\).
1. От теоремата за медианата към хипотенузата знаем, че \(CM = MA = MB\).
2. Разглеждаме \(\triangle AMC\). Тъй като \(CM = MA\), той е равнобедрен. Следователно \(\angle ACM = \angle MAC = \angle A = 35^\circ\).
3. Знаем, че \(\angle ACB = 90^\circ\). Този ъгъл е сбор от \(\angle ACM\) и \(\angle MCB\).
\(\angle ACB = \angle ACM + \angle MCB\)
\(90^\circ = 35^\circ + \angle MCB\)
\(\angle MCB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).
2. Разглеждаме \(\triangle AMC\). Тъй като \(CM = MA\), той е равнобедрен. Следователно \(\angle ACM = \angle MAC = \angle A = 35^\circ\).
3. Знаем, че \(\angle ACB = 90^\circ\). Този ъгъл е сбор от \(\angle ACM\) и \(\angle MCB\).
\(\angle ACB = \angle ACM + \angle MCB\)
\(90^\circ = 35^\circ + \angle MCB\)
\(\angle MCB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).
