Най-важното от урока
ПРАВА И ОБРАТНА ТЕОРЕМА ЗА \(30^\circ\):
• Ако в правоъгълен триъгълник има ъгъл \(30^\circ\), то катетът срещу него е равен на \(\frac{1}{2}\) от хипотенузата.
• Ако катет е равен на \(\frac{1}{2}\) от хипотенузата, то ъгълът срещу този катет е \(30^\circ\).
КЛЮЧ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ: Търсете или построявайте височини, за да създадете правоъгълни триъгълници. Особено полезно при равнобедрени триъгълници с ъгъл \(120^\circ\) (ъгли при основата по \(30^\circ\)) или при наличие на тъп ъгъл, чийто външен съседен ъгъл е \(30^\circ\) или \(60^\circ\).
• Ако в правоъгълен триъгълник има ъгъл \(30^\circ\), то катетът срещу него е равен на \(\frac{1}{2}\) от хипотенузата.
• Ако катет е равен на \(\frac{1}{2}\) от хипотенузата, то ъгълът срещу този катет е \(30^\circ\).
КЛЮЧ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ: Търсете или построявайте височини, за да създадете правоъгълни триъгълници. Особено полезно при равнобедрени триъгълници с ъгъл \(120^\circ\) (ъгли при основата по \(30^\circ\)) или при наличие на тъп ъгъл, чийто външен съседен ъгъл е \(30^\circ\) или \(60^\circ\).
Това е едно от най-важните свойства на правоъгълния триъгълник, което създава връзка между ъглите и страните му.
Ако в правоъгълен триъгълник един от острите ъгли е \(30^\circ\), то катетът, който лежи срещу този ъгъл, е равен на половината от хипотенузата.
\[ a = \frac{c}{2} \quad \text{или} \quad c = 2a \]
където \(a\) е катетът срещу ъгъла от \(30^\circ\), а \(c\) е хипотенузата.
Ако имаме правоъгълен триъгълник с хипотенуза \(10\) cm и един ъгъл \(30^\circ\), то катетът срещу този ъгъл ще бъде точно \(5\) cm. И обратното – ако катетът е \(4\) cm, то хипотенузата задължително е \(8\) cm.
Даден е правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)). Ако \(\angle A = 60^\circ\) и по-малкият катет е \(4,5\) cm, намерете дължината на хипотенузата \(AB\).
Сборът от острите ъгли в правоъгълен триъгълник е \(90^\circ\).
Следователно \(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
Срещу по-малък ъгъл лежи по-малка страна, значи по-малкият катет е \(AC\), който лежи срещу \(\angle B = 30^\circ\).
Според теоремата хипотенузата е два пъти по-голяма от този катет:
\(AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 4,5 = 9\) cm.
Следователно \(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
Срещу по-малък ъгъл лежи по-малка страна, значи по-малкият катет е \(AC\), който лежи срещу \(\angle B = 30^\circ\).
Според теоремата хипотенузата е два пъти по-голяма от този катет:
\(AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 4,5 = 9\) cm.
Тази теорема се използва, когато знаем дължините на страните и искаме да докажем големината на даден ъгъл.
Ако в правоъгълен триъгълник един от катетите е равен на половината от хипотенузата, то ъгълът, който лежи срещу този катет, е \(30^\circ\).
В правоъгълен \(\triangle PQC\) (\(\angle P = 90^\circ\)) катетът \(PC = 2,5\) cm, а хипотенузата \(QC = 5\) cm. Намерете острите ъгли на триъгълника.
Забелязваме, че \(PC = \frac{1}{2} QC\) (тъй като \(2,5 = \frac{5}{2}\)).
Според обратната теорема, ъгълът срещу катета \(PC\) е \(30^\circ\). Следователно \(\angle Q = 30^\circ\).
Другият остър ъгъл е \(\angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
Според обратната теорема, ъгълът срещу катета \(PC\) е \(30^\circ\). Следователно \(\angle Q = 30^\circ\).
Другият остър ъгъл е \(\angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
Теоремите за ъгъл \(30^\circ\) често се прилагат в равнобедрени триъгълници чрез построяване на височина.
Тъпоъгълен равнобедрен триъгълник с ъгъл \(120^\circ\):
Ъглите при основата са \((180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ\). Построяването на височината към основата го разделя на два правоъгълни триъгълника с ъгъл \(30^\circ\).
Ъглите при основата са \((180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ\). Построяването на височината към основата го разделя на два правоъгълни триъгълника с ъгъл \(30^\circ\).
Височина към бедро при тъп ъгъл:
Ако ъгълът при върха е например \(150^\circ\), височината към едното бедро пада на продължението на бедрото. Образува се външен ъгъл \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\) и правоъгълен триъгълник, в който височината е катет срещу \(30^\circ\).
Ако ъгълът при върха е например \(150^\circ\), височината към едното бедро пада на продължението на бедрото. Образува се външен ъгъл \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\) и правоъгълен триъгълник, в който височината е катет срещу \(30^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: В равнобедрен триъгълник ъгълът при върха е \(120^\circ\), а височината към основата е \(7\) cm. Намерете дължината на бедрото на триъгълника.
1. В равнобедрения триъгълник ъглите при основата са равни: \((180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ\).
2. Височината към основата образува правоъгълен триъгълник с бедрото (което е хипотенуза в новия триъгълник) и половината основа.
3. В този правоъгълен триъгълник височината (\(7\) cm) лежи срещу ъгъла от \(30^\circ\).
4. По теоремата бедрото е два пъти по-голямо от височината: \(2 \cdot 7 = 14\) cm.
Отговор: \(14\) cm.
2. Височината към основата образува правоъгълен триъгълник с бедрото (което е хипотенуза в новия триъгълник) и половината основа.
3. В този правоъгълен триъгълник височината (\(7\) cm) лежи срещу ъгъла от \(30^\circ\).
4. По теоремата бедрото е два пъти по-голямо от височината: \(2 \cdot 7 = 14\) cm.
Отговор: \(14\) cm.
Средна: Даден е равнобедрен \(\triangle ABC\) (\(AC = BC\)) с основа \(AB = 14\) cm и ъгъл при върха \(\angle ACB = 120^\circ\). Намерете разстоянието от средата на основата до бедрото на триъгълника.
1. Нека \(M\) е средата на основата \(AB\). Тогава \(AM = 14 : 2 = 7\) cm.
2. Ъгълът при основата е \(\angle A = (180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ\).
3. Разстоянието от \(M\) до бедрото \(AC\) е дължината на перпендикуляра \(MH\) (където \(H\) лежи на \(AC\)).
4. Разглеждаме \(\triangle AHM\) – той е правоъгълен (\(\angle H = 90^\circ\)), хипотенузата му е \(AM = 7\) cm, а \(\angle A = 30^\circ\).
5. Катетът \(MH\) лежи срещу \(30^\circ\), следователно е половината от хипотенузата: \(MH = 7 : 2 = 3,5\) cm.
Отговор: \(3,5\) cm.
2. Ъгълът при основата е \(\angle A = (180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ\).
3. Разстоянието от \(M\) до бедрото \(AC\) е дължината на перпендикуляра \(MH\) (където \(H\) лежи на \(AC\)).
4. Разглеждаме \(\triangle AHM\) – той е правоъгълен (\(\angle H = 90^\circ\)), хипотенузата му е \(AM = 7\) cm, а \(\angle A = 30^\circ\).
5. Катетът \(MH\) лежи срещу \(30^\circ\), следователно е половината от хипотенузата: \(MH = 7 : 2 = 3,5\) cm.
Отговор: \(3,5\) cm.
Трудна: В равнобедрен триъгълник \(ABC\) (\(AB = BC = 10\) cm) ъгълът при основата е \(\angle BAC = 15^\circ\). Намерете височината към бедрото на триъгълника.
1. Намираме ъгъла при върха: \(\angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot 15^\circ = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\).
2. Тъй като ъгълът е тъп, височината от връх \(A\) към бедрото \(BC\) (нека я кръстим \(AH\)) ще падне върху продължението на \(CB\).
3. Разглеждаме външния ъгъл при връх \(B\) за \(\triangle ABC\): \(\angle ABH = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\).
4. В правоъгълния \(\triangle AHB\) (\(\angle H = 90^\circ\)) имаме \(\angle ABH = 30^\circ\).
5. Катетът \(AH\) лежи срещу \(30^\circ\), следователно е равен на половината от хипотенузата \(AB\).
6. \(AH = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\) cm.
Отговор: \(5\) cm.
2. Тъй като ъгълът е тъп, височината от връх \(A\) към бедрото \(BC\) (нека я кръстим \(AH\)) ще падне върху продължението на \(CB\).
3. Разглеждаме външния ъгъл при връх \(B\) за \(\triangle ABC\): \(\angle ABH = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\).
4. В правоъгълния \(\triangle AHB\) (\(\angle H = 90^\circ\)) имаме \(\angle ABH = 30^\circ\).
5. Катетът \(AH\) лежи срещу \(30^\circ\), следователно е равен на половината от хипотенузата \(AB\).
6. \(AH = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\) cm.
Отговор: \(5\) cm.
