Най-важното от урока
Кръгова диаграма: Представя части от цяло. Целият кръг е 100% или \(360^\circ\).
От процент към ъгъл: Умножете процента по 3.6. Пример: \(20\% \to 20 \cdot 3.6^\circ = 72^\circ\).
От ъгъл към процент: Разделете ъгъла на 3.6. Пример: \(90^\circ \to 90^\circ / 3.6 = 25\%\).
Намиране на стойност: \(\text{Стойност} = \frac{\text{процент}}{100} \cdot \text{Общо}\) или \(\text{Стойност} = \frac{\text{ъгъл}}{360} \cdot \text{Общо}\).
Работа със съотношения: Намерете стойността на една част (k), като разделите \(360^\circ\) на сбора на частите в съотношението.
От процент към ъгъл: Умножете процента по 3.6. Пример: \(20\% \to 20 \cdot 3.6^\circ = 72^\circ\).
От ъгъл към процент: Разделете ъгъла на 3.6. Пример: \(90^\circ \to 90^\circ / 3.6 = 25\%\).
Намиране на стойност: \(\text{Стойност} = \frac{\text{процент}}{100} \cdot \text{Общо}\) или \(\text{Стойност} = \frac{\text{ъгъл}}{360} \cdot \text{Общо}\).
Работа със съотношения: Намерете стойността на една част (k), като разделите \(360^\circ\) на сбора на частите в съотношението.
Кръговата диаграма представя данни като части (сектори) от един цял кръг. Целият кръг представлява 100% от данните и отговаря на \(360^\circ\). Големината на всеки сектор (неговият централен ъгъл) е пропорционална на стойността, която представя.
Ако 25% от учениците са с оценка "Добър", то секторът, който ги представя, ще има централен ъгъл:
\[ \frac{25}{100} \cdot 360^\circ = 90^\circ \]
Един сектор от диаграма има централен ъгъл \(180^\circ\). Какъв процент от данните представя този сектор?
Тъй като \(180^\circ\) е половината от \(360^\circ\), секторът представлява половината от данните, т.е. 50%.
Формула: \( \frac{180^\circ}{360^\circ} \cdot 100\% = 50\% \).
Формула: \( \frac{180^\circ}{360^\circ} \cdot 100\% = 50\% \).
Когато частите на диаграмата са дадени в съотношение (например \(a:b:c\)), можем да намерим големината на ъглите, като първо намерим общия брой части. След това разделяме \(360^\circ\) на този брой, за да намерим колко градуса отговарят на една част.
Дадено е, че ъглите на 5 сектора са в съотношение \(\alpha : \beta : \gamma : \delta : \varphi = 5 : 4 : 2 : 1 : 3\).
1. Намираме общия брой части: \(5+4+2+1+3=15\).
2. Намираме стойността на една част (k): \(k = 360^\circ \div 15 = 24^\circ\).
3. Намираме ъгъла \(\varphi\): \(\varphi = 3k = 3 \cdot 24^\circ = 72^\circ\).
1. Намираме общия брой части: \(5+4+2+1+3=15\).
2. Намираме стойността на една част (k): \(k = 360^\circ \div 15 = 24^\circ\).
3. Намираме ъгъла \(\varphi\): \(\varphi = 3k = 3 \cdot 24^\circ = 72^\circ\).
При същото съотношение \(5:4:2:1:3\), намерете големината на ъгъл \(\beta\).
Една част (k) е \(24^\circ\). Ъгъл \(\beta\) отговаря на 4 части.
\(\beta = 4k = 4 \cdot 24^\circ = 96^\circ\).
\(\beta = 4k = 4 \cdot 24^\circ = 96^\circ\).
За да намерите конкретния брой или процент, който даден сектор представя, използвайте следните зависимости:
\[ \text{Брой в сектор} = \frac{\text{Ъгъл на сектора}}{360^\circ} \cdot \text{Общ брой} \]
\[ \text{Процент} = \frac{\text{Ъгъл на сектора}}{360^\circ} \cdot 100\% \]
Ако 450 ученици са се явили на изпит и секторът за оценка "Среден" има ъгъл \(\gamma = 48^\circ\), броят на тези ученици е:
\[ \frac{48^\circ}{360^\circ} \cdot 450 = \frac{48}{360} \cdot 450 = 60 \text{ ученици} \]
На строителен обект инженерите са представени със сектор с ъгъл \(54^\circ\). Какъв е техният процент?
\[ \text{Процент} = \frac{54^\circ}{360^\circ} \cdot 100\% = 0.15 \cdot 100\% = 15\% \]
Задачи за упражнение
Лесна: В анкета са участвали 120 ученици. Резултатите са представени на кръгова диаграма, на която секторът за "Отличен" успех е 35%. Колко ученици са с отличен успех?
Броят на отличните ученици се намира, като процентът се умножи по общия брой:
\[ \frac{35}{100} \cdot 120 = 0.35 \cdot 120 = 42 \text{ ученици} \]
Средна: На кръгова диаграма, представяща видовете транспорт, използвани от 400 служители, секторът за "Автомобил" има централен ъгъл 144°. Колко служители използват автомобил?
Използваме формулата за намиране на брой от ъгъл:
\[ \text{Брой служители} = \frac{144^\circ}{360^\circ} \cdot 400 = 0.4 \cdot 400 = 160 \text{ служители} \]
Трудна: Разпределението на три вида спортни дейности в клуб – фитнес, плуване и йога – е в съотношение \(5:3:2\). Ако занимаващите се с фитнес са с 18 повече от занимаващите се с йога, колко общо са членовете на клуба?
Нека броят на членовете във всяка група е \(5k\) (фитнес), \(3k\) (плуване) и \(2k\) (йога).
От условието знаем: \(5k - 2k = 18\).
\(3k = 18 \implies k = 6\).
Общият брой членове е сумата от всички части: \(5k + 3k + 2k = 10k\).
Общо членове: \(10 \cdot 6 = 60\).
От условието знаем: \(5k - 2k = 18\).
\(3k = 18 \implies k = 6\).
Общият брой членове е сумата от всички части: \(5k + 3k + 2k = 10k\).
Общо членове: \(10 \cdot 6 = 60\).
