17. Умножение на Многочлен с Едночлен

а) \( -3(x-2) \)

Стъпка 1: Умножение на едночлен с многочлен

Прилагаме дистрибутивното свойство, като умножаваме числото \( -3 \) с всеки член в скобите: \[ -3 \cdot x - 3 \cdot (-2) = -3x + 6 \]

б) \( x^2(x^2+x) \)

Стъпка 1: Умножение на едночлена с всеки член в скобите

Умножаваме едночлена \( x^2 \) с всеки от членовете в скобите, като при умножение на степени с равни основи събираме степенните показатели: \[ x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot x = x^{2+2} + x^{2+1} = x^4 + x^3 \]

в) \( 12 a^{2}\left(\frac{1}{6} a^{2}-\frac{5}{6} a b+\frac{7}{12}\right) \)

Стъпка 1: Разкриване на скобите и съкращаване на дробите

Умножаваме \( 12a^2 \) с всеки член от многочлена в скобите: \[ 12a^2 \cdot \frac{1}{6}a^2 - 12a^2 \cdot \frac{5}{6}ab + 12a^2 \cdot \frac{7}{12} \] Съкращаваме общите множители между числителите и знаменателите: \[ = \cancel{12}^2 a^2 \cdot \frac{1}{\cancel{6}_1} a^2 - \cancel{12}^2 a^2 \cdot \frac{5}{\cancel{6}_1} ab + \cancel{12}^1 a^2 \cdot \frac{7}{\cancel{12}_1} \]

Стъпка 2: Пресмятане на получените едночлени

\[ = 2a^4 - 10a^3b + 7a^2 \]

г) \( \frac{2}{5} x^{2}(15-5 x+10 y) \)

Стъпка 1: Разкриване на скобите и съкращаване на дробите

Умножаваме едночлена \( \frac{2}{5}x^2 \) с всеки член в скобите: \[ \frac{2}{5}x^2 \cdot 15 - \frac{2}{5}x^2 \cdot 5x + \frac{2}{5}x^2 \cdot 10y \] Съкращаваме множителя 5 в знаменателя с коефициентите: \[ = \frac{2}{\cancel{5}_1}x^2 \cdot \cancel{15}^3 - \frac{2}{\cancel{5}_1}x^2 \cdot \cancel{5}^1 x + \frac{2}{\cancel{5}_1}x^2 \cdot \cancel{10}^2 y \]

Стъпка 2: Записване в нормален вид

\[ = 6x^2 - 2x^3 + 4x^2y = -2x^3 + 4x^2y + 6x^2 \]

а)

\[ -3(x-2) = -3x + 6 \]

б)

\[ x^2(x^2+x) = x^4 + x^3 \]

в)

\[ 12a^2\left(\frac{1}{6}a^2 - \frac{5}{6}ab + \frac{7}{12}\right) = 2a^4 - 10a^3b + 7a^2 \]

г)

\[ \frac{2}{5}x^2(15-5x+10y) = 6x^2 - 2x^3 + 4x^2y \]