Коя от фигурите е развивка на правилна четириъгълна пирамида? а) б) в) г) - фигурите са дадени на квадратна мрежа.

Стъпка 1: Какво трябва да съдържа развивката Правилната четириъгълна пирамида има основа квадрат и четири околни стени, които са еднакви равнобедрени триъгълници. Основата на всеки от тези триъгълници е основен ръб (страна на квадрата), а бедрата му са околни ръбове. Затова в развивката търсим квадрат и четири еднакви равнобедрени триъгълника, разположени така, че при сгъване всяка страна на квадрата да се покрие от основата на точно един триъгълник, а върховете на триъгълниците да се съберат в...

Ръбести и Валчести Тела

Най-важното от урока

Обем: За "прави" тела като призма и цилиндър, обемът е Лице на основата × Височина ($V=B \cdot h$). За "остри" тела като пирамида и конус, формулата е $\frac{1}{3}$ от това: $V = \frac{1}{3} B \cdot h$.
Околна повърхнина: За призма и цилиндър, това е Периметър на основата × Височина.
Пълна повърхнина: Винаги е сбор от Лицето на околната повърхнина + Лицата на основите ($S_1 = S + \text{основи}$). За призма и цилиндър има две основи, а за пирамида и конус – една.

Тяло с шест правоъгълни стени. Измеренията му са дължина ($a$), ширина ($b$) и височина ($c$).

${Диаграма на правоъгълен паралелепипед с дължина $a$, ширина $b$ и височина $c$.}$

Лице на пълна повърхнина: $ S_1 = 2(ab + bc + ac) $
Обем: $ V = abc $

За паралелепипед с размери $a=5$ cm, $b=4$ cm и $c=3$ cm:
$S_1 = 2(5 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2(20 + 12 + 15) = 2 \cdot 47 = 94$ cm$^2$.
$V = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ cm$^3$.

Намерете обема на куб (частен случай на паралелепипед, при който a=b=c) с дължина на ръба 4 cm.

$V = a \cdot a \cdot a = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ cm$^3$.

Тяло с две еднакви и успоредни основи (многоъгълници) и правоъгълни околни стени.

${Диаграма на права призма с правоъгълна основа с дължина $a$, ширина $b$ и височина $h$.}$

Лице на околна повърхнина: $ S = P_{осн} \cdot h $
Лице на пълна повърхнина: $ S_1 = S + 2B_{осн} $
Обем: $ V = B_{осн} \cdot h $
$P_{осн}$ е периметърът на основата, $B_{осн}$ е лицето на основата, $h$ е височината.

Права призма има за основа квадрат със страна 5 cm и височина 10 cm.
$P_{осн} = 4 \cdot 5 = 20$ cm.
$B_{осн} = 5^2 = 25$ cm$^2$.
$S = 20 \cdot 10 = 200$ cm$^2$.
$S_1 = 200 + 2 \cdot 25 = 250$ cm$^2$.
$V = 25 \cdot 10 = 250$ cm$^3$.

Права призма има за основа триъгълник с лице 15 cm$^2$ и периметър 18 cm. Ако височината на призмата е 10 cm, намерете обема $V$ и лицето на околната повърхнина $S$.

$V = B_{осн} \cdot h = 15 \cdot 10 = 150$ cm$^3$.
$S = P_{осн} \cdot h = 18 \cdot 10 = 180$ cm$^2$.

Тяло с основа правилен многоъгълник и триъгълни околни стени, които се събират в една точка (връх).

${Диаграма на правилна пирамида с отбелязани основни ръбове, апотема $k$, и височина $h$.}$

Лице на околна повърхнина: $ S = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot k $
Лице на пълна повърхнина: $ S_1 = S + B_{осн} $
Обем: $ V = \frac{1}{3} B_{осн} \cdot h $
$P_{осн}$ е периметърът на основата, $B_{осн}$ е лицето на основата, $k$ е апотемата на пирамидата, $h$ е височината.

Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 6 cm и апотема $k = 5$ cm.
$P_{осн} = 4 \cdot 6 = 24$ cm. $B_{осн} = 6^2 = 36$ cm$^2$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ cm$^2$.
$S_1 = 60 + 36 = 96$ cm$^2$.

Правилна пирамида има за основа квадрат с лице 64 cm$^2$. Ако апотемата на пирамидата е 5 cm, намерете лицето на околната ѝ повърхнина $S$.

От $B_{осн} = 64$ cm$^2$, намираме страната на квадрата $a = \sqrt{64} = 8$ cm.
$P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 8 = 32$ cm.
$S = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot k = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 5 = 80$ cm$^2$.

Валчесто тяло, образувано от два еднакви успоредни кръга (основи) и извита повърхнина, която ги свързва.

${Диаграма на цилиндър с отбелязани радиус $r$ и височина $h$.}$

Лице на околна повърхнина: $ S = 2\pi rh $
Лице на пълна повърхнина: $ S_1 = 2\pi r(r+h) $
Обем: $ V = \pi r^2 h $

Цилиндър има радиус $r=3$ cm и височина $h=7$ cm.
$S_1 = 2\pi \cdot 3(3+7) = 6\pi \cdot 10 = 60\pi$ cm$^2$.
$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 7 = 63\pi$ cm$^3$.

Намерете обема на цилиндър с диаметър на основата 10 cm и височина 5 cm.

Диаметърът е 10 cm, следователно радиусът $r = 5$ cm.
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 5 = 125\pi$ cm$^3$.

Валчесто тяло, образувано от кръг (основа) и извита повърхнина, която се събира в точка (връх).

${Диаграма на конус с отбелязани радиус $r$, височина $h$ и образуваща $l$.}$

Лице на околна повърхнина: $ S = \pi rl $
Лице на пълна повърхнина: $ S_1 = \pi r(r+l) $
Обем: $ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $
$l$ е образуващата. Връзката между $r, h, l$ е Питагоровата теорема: $l^2 = r^2 + h^2$.

Конус има радиус $r=5$ cm и височина $h=12$ cm.
Първо намираме образуващата $l$: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ cm.
$S_1 = \pi \cdot 5(5+13) = \pi \cdot 5 \cdot 18 = 90\pi$ cm$^2$.
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ cm$^3$.

Намерете лицето на пълната повърхнина на конус с радиус 3 cm и образуваща 5 cm.

$S_1 = \pi r(r+l) = \pi \cdot 3(3+5) = \pi \cdot 3 \cdot 8 = 24\pi$ cm$^2$.

Задачи за упражнение

Лесна: Намерете обема и пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед с размери 2 cm, 5 cm и 10 cm.

Обем: $V = a b c = 2 \cdot 5 \cdot 10 = 100$ cm$^3$.
Пълна повърхнина: $S_1 = 2(ab+bc+ac) = 2(2\cdot5 + 5\cdot10 + 2\cdot10) = 2(10+50+20) = 2 \cdot 80 = 160$ cm$^2$.

Средна: Обемът на цилиндър е $320\pi$ cm$^3$, а радиусът на основата му е 8 cm. Намерете височината на цилиндъра и лицето на околната му повърхнина.

От формулата за обем $V = \pi r^2 h$, имаме $320\pi = \pi \cdot 8^2 \cdot h$.
$320\pi = 64\pi \cdot h \implies h = \frac{320\pi}{64\pi} = 5$ cm.
Лице на околна повърхнина: $S = 2\pi rh = 2\pi \cdot 8 \cdot 5 = 80\pi$ cm$^2$.

Трудна: Основният ръб на правилна осмоъгълна призма е 5 cm. Лицето $S$ на околната ѝ повърхнина е 400 cm$^2$, а лицето $S_1$ на пълната ѝ повърхнина е 640 cm$^2$. Намерете обема на призмата.

1. Намираме периметъра на основата: $P_{осн} = 8 \cdot 5 = 40$ cm.
2. От $S = P_{осн} \cdot h$ намираме височината: $400 = 40 \cdot h \implies h = 10$ cm.
3. От $S_1 = S + 2B_{осн}$ намираме лицето на основата: $640 = 400 + 2B_{осн} \implies 2B_{осн} = 240 \implies B_{осн} = 120$ cm$^2$.
4. Намираме обема: $V = B_{осн} \cdot h = 120 \cdot 10 = 1200$ cm$^3$.

6. Ръбести и Валчести Тела

Избери решение на задача:

Стъпка 1: Какво трябва да съдържа развивката

Стъпка 2: Проверяваме фигура а)

Стъпка 3: Проверяваме фигура б)

Стъпка 4: Проверяваме фигура в)

Стъпка 5: Проверяваме фигура г)

Отговор

Кратък запис на решението:

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

Подробно решение

Стъпка 1: Какво трябва да съдържа развивката

Стъпка 2: Проверяваме фигура а)

Стъпка 3: Проверяваме фигура б)

Стъпка 4: Проверяваме фигура в)

Стъпка 5: Проверяваме фигура г)

Отговор

Кратък запис на решението:

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: