79. Ъглополовяща на Ъгъл. Построяване на Ъглополовяща на Даден Ъгъл

Дадено: \(\angle ACB = \gamma\) \(\angle NCB = 180^\circ - \gamma\) (външен ъгъл при връх C) \(CL\) - ъглополовяща на \(\angle ACB \implies \angle ACL = \angle BCL = \frac{\gamma}{2}\) \(CL_1\) - ъглополовяща на \(\angle NCB \implies \angle L_1CB = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\) Доказателство: \(\angle LCL_1 = \angle LCB + \angle L_1CB\) \(\angle LCL_1 = \frac{\gamma}{2} + 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\) \(\angle LCL_1 = \cancel{\frac{\gamma}{2}} + 90^\circ - \cancel{\frac{\gamma}{2}} = 90^\circ\) \(\implies \Delta LL_1C\) е правоъгълен.

Стъпка 1: Построяване на чертеж

Начертайте произволен триъгълник ABC. При върха C начертайте вътрешната ъглополовяща CL, която пресича страната AB в точка L. След това начертайте външната ъглополовяща при същия връх C, като означите точката, в която тя пресича правата AB, с L1. Означете ъгъл ACB с \(\gamma\).

Стъпка 2: Означаване на ъглите

Нека вътрешният ъгъл при върха \(C\) е \(\angle ACB = \gamma\). Външният ъгъл при върха \(C\) се образува от продължението на една от страните (например \(AC\)) и другата страна (\(BC\)). Нека продължим страната \(AC\) до точка \(N\), така че \(N, C, A\) да лежат на една права. Външният ъгъл е \(\angle NCB = 180^\circ - \gamma\).

Стъпка 3: Определяне на ъглите, образувани от ъглополовящите

Понеже \(CL\) е вътрешна ъглополовяща на \(\angle ACB\), тя разполовява ъгъла на две равни части: \[ \angle ACL = \angle BCL = \frac{\gamma}{2} \] Понеже \(CL_1\) е външна ъглополовяща на \(\angle ACB\), тя е ъглополовяща на съседния на него външен ъгъл \(\angle NCB\). Следователно: \[ \angle L_1CN = \angle L_1CB = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \]

Стъпка 4: Доказване, че \(\Delta LL_1C\) е правоъгълен

За да бъде триъгълникът правоъгълен, трябва един от ъглите му да е \(90^\circ\). Разглеждаме ъгъл \(\angle LCL_1\), който е съставен от ъглите \(\angle LCB\) и \(\angle L_1CB\): \[ \angle LCL_1 = \angle LCB + \angle L_1CB = \frac{\gamma}{2} + (90^\circ - \frac{\gamma}{2}) \] Тъй като \(\frac{\gamma}{2}\) и \(-\frac{\gamma}{2}\) са противоположни числа, те се съкращават (\(\cancel{\frac{\gamma}{2}} - \cancel{\frac{\gamma}{2}} = 0\)): \[ \angle LCL_1 = 90^\circ \] След като \(\angle LCL_1 = 90^\circ\), триъгълникът \(\Delta LL_1C\) е правоъгълен.

\(\angle ACB = \gamma\), \(\angle NCB = 180^\circ - \gamma\) \(CL\) е ъглополовяща \(\implies \angle LCB = \frac{\gamma}{2}\) \(CL_1\) е ъглополовяща \(\implies \angle L_1CB = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\) \(\angle LCL_1 = \angle LCB + \angle L_1CB = \frac{\gamma}{2} + 90^\circ - \frac{\gamma}{2} = 90^\circ\) \(\Delta LL_1C\) има ъгъл от \(90^\circ \implies\) е правоъгълен.