Най-важното от урока
Ключови стъпки при решаване на линейни уравнения:
1. Опростяване: Разкрийте скобите и извършете възможните действия от всяка страна на уравнението.
2. Премахване на знаменатели: Ако има дроби, умножете цялото уравнение по най-малкия общ знаменател (НОЗ). Пример: \(\frac{x}{2} + 1 = 3 \implies x + 2 = 6\).
3. Групиране: Прехвърлете всички членове с \(x\) от едната страна и константите от другата. Пример: \(5x - 3 = 2x + 9 \implies 5x - 2x = 9 + 3\).
4. Решаване: Намерете стойността на \(x\). Пример: \(3x = 12 \implies x = 4\).
5. Специални случаи: Ако \(x\) изчезне, проверете дали полученото равенство е вярно (\(0=0\), всяко число е корен) или невярно (\(0=5\), няма корен).
1. Опростяване: Разкрийте скобите и извършете възможните действия от всяка страна на уравнението.
2. Премахване на знаменатели: Ако има дроби, умножете цялото уравнение по най-малкия общ знаменател (НОЗ). Пример: \(\frac{x}{2} + 1 = 3 \implies x + 2 = 6\).
3. Групиране: Прехвърлете всички членове с \(x\) от едната страна и константите от другата. Пример: \(5x - 3 = 2x + 9 \implies 5x - 2x = 9 + 3\).
4. Решаване: Намерете стойността на \(x\). Пример: \(3x = 12 \implies x = 4\).
5. Специални случаи: Ако \(x\) изчезне, проверете дали полученото равенство е вярно (\(0=0\), всяко число е корен) или невярно (\(0=5\), няма корен).
Основната стъпка при решаване на линейни уравнения е да се опрости изразът. Това често включва разкриване на скоби чрез прилагане на дистрибутивния закон и формулите за съкратено умножение.
След разкриване на скобите, съберете всички членове, съдържащи неизвестното \(x\), от едната страна на равенството, а свободните членове (числата) – от другата.
Решете уравнението: \(-7x - (2 - 3(x - 1)) + 2x = 5\)
\(-7x - (2 - 3x + 3) + 2x = 5\)
\(-7x - (5 - 3x) + 2x = 5\)
\(-7x - 5 + 3x + 2x = 5\)
\(-7x + 3x + 2x = 5 + 5\)
\(-2x = 10\)
\(x = \frac{10}{-2} = -5\)
\(-2x = 10\)
\(x = \frac{10}{-2} = -5\)
Решете уравнението: \(10 - 2(x - 4) = 4\).
\(10 - 2x + 8 = 4\)
\(18 - 2x = 4\)
\(-2x = 4 - 18\)
\(-2x = -14\)
\(x = 7\)
\(18 - 2x = 4\)
\(-2x = 4 - 18\)
\(-2x = -14\)
\(x = 7\)
За да се освободим от знаменателите в едно уравнение, намираме най-малкия общ знаменател (НОЗ) на всички дроби и умножаваме двете страни на уравнението с него.
Решете уравнението: \(\frac{3x+5}{2} + \frac{x-1}{3} = 1 - \frac{x}{6}\)
Знаменателите са 2, 3 и 6. Техният НОЗ е 6.
\(6 \cdot \frac{3x+5}{2} + 6 \cdot \frac{x-1}{3} = 6 \cdot 1 - 6 \cdot \frac{x}{6}\)
\(3(3x+5) + 2(x-1) = 6 - x\)
\(9x + 15 + 2x - 2 = 6 - x\)
\(11x + 13 = 6 - x\)
\(11x + x = 6 - 13\)
\(12x = -7\)
\(x = -\frac{7}{12}\)
\(9x + 15 + 2x - 2 = 6 - x\)
\(11x + 13 = 6 - x\)
\(11x + x = 6 - 13\)
\(12x = -7\)
\(x = -\frac{7}{12}\)
Решете уравнението: \(\frac{x}{2} + 5 = \frac{x}{3} + 7\).
НОЗ на 2 и 3 е 6.
\(6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot 5 = 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot 7\)
\(3x + 30 = 2x + 42\)
\(3x - 2x = 42 - 30\)
\(x = 12\)
\(6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot 5 = 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot 7\)
\(3x + 30 = 2x + 42\)
\(3x - 2x = 42 - 30\)
\(x = 12\)
След опростяване на уравнението, членовете с \(x\) могат да се унищожат. Тогава има две възможности:
Ако получите невярно числово равенство (напр. \(0=9\)), уравнението няма решение.
Ако получите вярно числово равенство (напр. \(0=0\)), всяко число е решение. Такова уравнение се нарича тъждество.
а) Уравнението \(5x - (x^2 - 1) = 10 - x^2 + 5x\) се свежда до:
\(5x - x^2 + 1 = 10 - x^2 + 5x\)
\(1 = 10\), което е невярно.
Извод: Уравнението няма решение.
б) Уравнението \((x+2)^2 - (x-1)^2 = 3(2x+1)\) се свежда до:
\((x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 2x + 1) = 6x + 3\)
\(6x + 3 = 6x + 3\), което се свежда до \(0=0\).
Извод: Всяко число е решение.
\(5x - x^2 + 1 = 10 - x^2 + 5x\)
\(1 = 10\), което е невярно.
Извод: Уравнението няма решение.
б) Уравнението \((x+2)^2 - (x-1)^2 = 3(2x+1)\) се свежда до:
\((x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 2x + 1) = 6x + 3\)
\(6x + 3 = 6x + 3\), което се свежда до \(0=0\).
Извод: Всяко число е решение.
Решете уравнението \(4(x - 1) = 4x + 5\).
\(4x - 4 = 4x + 5\)
\(4x - 4x = 5 + 4\)
\(0x = 9 \implies 0 = 9\)
Отговор: Уравнението няма решение.
\(4x - 4x = 5 + 4\)
\(0x = 9 \implies 0 = 9\)
Отговор: Уравнението няма решение.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(5(x - 1) = 3x + 7\).
\(5x - 5 = 3x + 7\)
\(5x - 3x = 7 + 5\)
\(2x = 12\)
\(x = 6\)
\(5x - 3x = 7 + 5\)
\(2x = 12\)
\(x = 6\)
Средна: Решете уравнението \((x-2)^2 = x(x-6) + 16\).
\(x^2 - 4x + 4 = x^2 - 6x + 16\)
\(-4x + 4 = -6x + 16\)
\(-4x + 6x = 16 - 4\)
\(2x = 12\)
\(x = 6\)
\(-4x + 4 = -6x + 16\)
\(-4x + 6x = 16 - 4\)
\(2x = 12\)
\(x = 6\)
Трудна: Решете уравнението \(\frac{2x+1}{3} - \frac{x-2}{6} = \frac{x}{2}\).
НОЗ на 3, 6 и 2 е 6. Умножаваме с 6:
\(2(2x+1) - 1(x-2) = 3x\)
\(4x + 2 - x + 2 = 3x\)
\(3x + 4 = 3x\)
\(4 = 0\)
Получава се невярно равенство, следователно уравнението няма решение.
\(2(2x+1) - 1(x-2) = 3x\)
\(4x + 2 - x + 2 = 3x\)
\(3x + 4 = 3x\)
\(4 = 0\)
Получава се невярно равенство, следователно уравнението няма решение.
