102. Признаци за успоредник

Дадено: ABCD - четириъгълник \( AB = CD \) \( \angle BAC = \angle ACD \) Търсим: ABCD - успоредник Доказателство: Разглеждаме \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \): 1) \( AB = CD \) (по условие) 2) \( AC = CA \) (обща страна) 3) \( \angle BAC = \angle ACD \) (по условие) \( \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle CDA \) (по I признак) \( \Rightarrow AD = BC \) (съответни елементи в еднакви триъгълници) Тъй като \( AB = CD \) и \( AD = BC \), следва, че четириъгълникът ABCD е успоредник (по признак за успоредник чрез срещуположни страни).

Стъпка 1: Анализ на данните и построение

Начертайте четириъгълник ABCD, в който диагоналът AC разделя фигурата на два триъгълника ABC и ADC. Означете страните \( AB \) и \( CD \) като равни, а ъглите \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) означете с \( \alpha \). Дадено ни е, че в четириъгълника \( ABCD \): 1. \( AB = CD \) 2. \( \angle BAC = \angle ACD \)

Стъпка 2: Сравняване на триъгълници

Разглеждаме триъгълниците \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \): - \( AB = CD \) (по условие) - \( AC = CA \) (обща страна за двата триъгълника) - \( \angle BAC = \angle ACD \) (по условие) Следователно, по първи признак за еднаквост на триъгълници (страна-ъгъл-страна), имаме: \[ \triangle ABC \cong \triangle CDA \]

Стъпка 3: Доказателство за успоредник

От еднаквостта на триъгълниците следва, че съответните им елементи са равни. Така получаваме: \[ AD = BC \] Вече знаем, че \( AB = CD \) (по условие) и доказахме, че \( AD = BC \). Според признаците за успоредник, четириъгълник, на който срещуположните страни са равни две по две, е успоредник. Следователно \( ABCD \) е успоредник.

Разглеждаме \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \): 1) \( AB = CD \) 2) \( AC = CA \) (обща) 3) \( \angle BAC = \angle ACD \) \( \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle CDA \) (I признак) \( \Rightarrow AD = BC \) Четириъгълникът ABCD е успоредник, защото \( AB = CD \) и \( AD = BC \).