Най-важното от урока
Ключови изводи
- Всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от раменете на ъгъла.
- Трите ъглополовящи в триъгълник се пресичат в една точка, която е център на вписаната окръжност.
- Ъглополовящата често създава равнобедрен триъгълник, особено при задачи с успоредни прави или специфични ъгли.
- В правоъгълен триъгълник с ъгли 30° и 60°, ъглополовящата на 60°-ия ъгъл разделя срещуположния катет в отношение 2:1 (по-голямата част е към върха с 30°).
Всяка точка, която лежи на ъглополовящата на даден ъгъл, се намира на равни разстояния от раменете на този ъгъл. Обратното също е вярно: ако една точка е на равни разстояния от раменете на ъгъл, тя лежи на неговата ъглополовяща.
Тогава \(\angle PBN = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\). В правоъгълния \(\triangle PBN\), катетът \(PN=5\) cm лежи срещу ъгъл от \(30^\circ\), следователно хипотенузата \(BN = 2 \cdot PN = 2 \cdot 5 = 10\) cm.
Точка K лежи на ъглополовящата на \(\angle XYZ\). Ако разстоянието от K до лъча YX е 7 cm, колко е разстоянието от K до лъча YZ?
Отговор: 7 cm. Според свойството на ъглополовящата, разстоянията от всяка нейна точка до раменете на ъгъла са равни.
Трите ъглополовящи на вътрешните ъгли в един триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка се нарича център на вписаната в триъгълника окръжност (инцентър) и е на равни разстояния от трите страни на триъгълника.
- От \(O \in BO \Rightarrow O\) е на равни разстояния от \(AB\) и \(BC\).
- От \(O \in CO \Rightarrow O\) е на равни разстояния от \(BC\) и \(AC\).
Ъглополовящите \(AL\) и \(BN\) в \(\triangle ABC\) се пресичат в точка \(O\). Ако разстоянието от \(O\) до страната \(AC\) е 3 cm, колко е разстоянието от \(O\) до страната \(AB\)?
Отговор: 3 cm. Точка О лежи на ъглополовящата AL, следователно е на равни разстояния от страните AB и AC.
В правоъгълен триъгълник с остри ъгли \(30^\circ\) и \(60^\circ\), ъглополовящата на ъгъла от \(60^\circ\) създава специфични отношения. Тя разделя срещуположния катет на две отсечки, едната от които е два пъти по-голяма от другата.
- Тя разделя \(\angle B\) на два ъгъла по \(30^\circ\) (\(\angle ABL = \angle LBC = 30^\circ\)).
- В \(\triangle ABL\), \(\angle A = 30^\circ\) и \(\angle ABL = 30^\circ\), следователно \(\triangle ABL\) е равнобедрен и \(AL = BL\).
- В правоъгълния \(\triangle LBC\), \(\angle LBC = 30^\circ\), следователно катетът срещу него \(LC\) е половината от хипотенузата \(BL\), т.е. \(BL = 2 \cdot LC\).
В \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\), \(\angle A = 30^\circ\)), ъглополовящата \(BL\) има дължина 10 cm. Намерете дължината на катета \(AC\).
От свойството \(AL = BL = 10\) cm.
От свойството \(LC = BL / 2 = 10 / 2 = 5\) cm.
Тогава \(AC = AL + LC = 10 + 5 = 15\) cm.
Когато ъглополовяща е пресечена от успоредна на нея права, се образуват равни двойки кръстни или съответни ъгли. Това често води до доказване на равнобедрен триъгълник.
- Тъй като \(AL\) е ъглополовяща, \(\angle BAL = \angle LAC\).
- Тъй като \(CD \parallel AL\) и \(AC\) е секуща права, то \(\angle ACD = \angle LAC\) (кръстни ъгли).
При условията от примера, докажете, че \(\triangle ADC\) е равнобедрен.
От \(CD \parallel AL\) и секуща \(BD\) следва, че \(\angle ADC = \angle BAL\) (съответни ъгли).
От примера знаем, че \(\angle ACD = \angle LAC\).
Тъй като \(AL\) е ъглополовяща, \(\angle BAL = \angle LAC\).
Следователно \(\angle ADC = \angle ACD\), от което следва, че \(\triangle ADC\) е равнобедрен (\(AC = AD\)).
Задачи за упражнение
Лесна: Точка P лежи на ъглополовящата на \(\angle MON = 70^\circ\). Разстоянието от P до лъча OM е 10 cm. Какво е разстоянието от P до лъча ON и каква е големината на \(\angle MOP\)?
Разстоянието до ON е също 10 cm по свойството на ъглополовящата.
Ъглополовящата разделя ъгъла наполовина, така че \(\angle MOP = 70^\circ / 2 = 35^\circ\).
Средна: В \(\triangle ABC\), права през върха \(C\), успоредна на ъглополовящата \(BL\) на \(\angle B\), пресича продължението на страната \(AB\) в точка \(D\). Ако \(\angle A = 70^\circ\) и \(\angle C = 50^\circ\), намерете ъглите на \(\triangle BCD\).
1. В \(\triangle ABC\), \(\angle B = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ\).
2. \(BL\) е ъглополовяща \(\Rightarrow \angle ABL = \angle LBC = 60^\circ / 2 = 30^\circ\).
3. \(CD \parallel BL\) и \(BC\) е секуща \(\Rightarrow \angle BCD = \angle LBC = 30^\circ\) (кръстни ъгли).
4. \(CD \parallel BL\) и \(AD\) е секуща \(\Rightarrow \angle BDC = \angle ABL = 30^\circ\) (съответни ъгли).
5. В \(\triangle BCD\), \(\angle CBD = 180^\circ - (\angle BCD + \angle BDC) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ\).
Отговор: Ъглите на \(\triangle BCD\) са \(\angle D = 30^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\), \(\angle B = 120^\circ\).
Отговор: Ъглите на \(\triangle BCD\) са \(\angle D = 30^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\), \(\angle B = 120^\circ\).
Трудна: В правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) ъглополовящата \(BL\) пресича катета \(AC\) в точка \(L\). Ако \(CL = 4\) cm и \(\angle A = 30^\circ\), намерете дължините на отсечката \(AL\) и хипотенузата \(AB\).
1. Намираме \(\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
2. \(BL\) е ъглополовяща, значи \(\angle LBC = 60^\circ / 2 = 30^\circ\).
3. В правоъгълния \(\triangle LBC\), катетът \(CL=4\) cm лежи срещу ъгъл \(30^\circ\), следователно хипотенузата \(BL = 2 \cdot CL = 2 \cdot 4 = 8\) cm.
4. В \(\triangle ABL\), ъглите при основата \(AB\) са \(\angle BAL = 30^\circ\) и \(\angle ABL = 30^\circ\). Следователно \(\triangle ABL\) е равнобедрен и \(AL = BL = 8\) cm.
5. За хипотенузата \(AB\): в \(\triangle ABC\), катетът \(BC\) лежи срещу ъгъл \(30^\circ\). Първо намираме \(BC\) от \(\triangle LBC\): \(BC = \sqrt{BL^2 - CL^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) cm.
6. В \(\triangle ABC\), \(BC = AB/2\), така че \(AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\) cm.
Отговор: \(AL = 8\) cm, \(AB = 8\sqrt{3}\) cm.
Отговор: \(AL = 8\) cm, \(AB = 8\sqrt{3}\) cm.
