Най-важното от урока
Стратегия за разлагане: Винаги започвай с търсене на общ множител, след това търси формула за съкратено умножение и накрая опитай групиране. Пример: \(5x^2 - 5 = 5(x^2-1) = 5(x-1)(x+1)\).
Допълване до точен квадрат: Основен метод за разлагане на квадратни тричлени и за намиране на НМС/НГС.
- За разлагане: \(x^2+4x+3 = (x+2)^2 - 1 = (x+1)(x+3)\).
- За НМС: \(x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1\). НМС е 1.
Допълване до точен квадрат: Основен метод за разлагане на квадратни тричлени и за намиране на НМС/НГС.
- За разлагане: \(x^2+4x+3 = (x+2)^2 - 1 = (x+1)(x+3)\).
- За НМС: \(x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1\). НМС е 1.
При разлагане на многочлени на множители се следват няколко основни стъпки в комбинация.
Изнасяне на общ множител: Винаги първо проверявайте дали има общ множител за всички членове и го изнесете пред скоби.
Прилагане на формула: След изнасяне на общ множител (или ако няма такъв), проверете дали изразът в скобите (или целият многочлен) може да се разложи с формула за съкратено умножение.
Групиране: Ако формулите не помагат, опитайте да групирате членовете (обикновено по двойки, ако са четен брой) и да изнесете общ множител от всяка група.
Разлагане на \(2m^2 - 6m + 4\):
- Общ множител: \(2(m^2 - 3m + 2)\)
- Групиране (в скобите): \(2(m^2 - m - 2m + 2)\)
- Изнасяне от групите: \(2(m(m-1) - 2(m-1))\)
- Финален резултат: \(2(m-1)(m-2)\)
Разложете на множители израза \(5a^2 - 20\).
Първо изнасяме общ множител 5: \(5(a^2 - 4)\).
След това прилагаме формулата \(a^2 - b^2\): \(5(a-2)(a+2)\).
След това прилагаме формулата \(a^2 - b^2\): \(5(a-2)(a+2)\).
Квадратен тричлен е многочлен от вида \(ax^2 + bx + c\), където \(a \neq 0\).
Методът "допълване до точен квадрат" позволява да разложим квадратен тричлен, като го преобразуваме до разлика от квадрати.
1. Представете средния член \(bx\) като \(2 \cdot x \cdot k\).
2. Добавете и извадете \(k^2\), за да оформите точен квадрат \((x \pm k)^2\).
3. Опростете останалите свободни членове. Ако се получи \((x \pm k)^2 - d^2\), приложете формулата за разлика от квадрати.
2. Добавете и извадете \(k^2\), за да оформите точен квадрат \((x \pm k)^2\).
3. Опростете останалите свободни членове. Ако се получи \((x \pm k)^2 - d^2\), приложете формулата за разлика от квадрати.
Разлагане на \(x^2 + 6x - 7\):
\[ x^2 + 6x - 7 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 - 7 \]
Добавяме и изваждаме \(3^2\):
\[ (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 - 7 = (x+3)^2 - 9 - 7 = (x+3)^2 - 16 \]
Прилагаме формулата за разлика от квадрати:
\[ (x+3)^2 - 4^2 = (x+3-4)(x+3+4) = (x-1)(x+7) \]
Ако след допълване се получи сбор от квадрати, например \((x-4)^2 + 4\), тричленът е неразложим на множители с реални числа.
Разложете тричлена \(x^2 - 2x - 8\) чрез допълване до точен квадрат.
\[ x^2 - 2x - 8 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 - 8 \]
\[ = (x-1)^2 - 9 = (x-1)^2 - 3^2 \]
\[ = (x-1-3)(x-1+3) = (x-4)(x+2) \]
Методът "допълване до точен квадрат" се използва и за намиране на най-малката (НМС) или най-голямата (НГС) стойност на квадратен тричлен.
След преобразуване на израза до вида \(A = (x \pm h)^2 + k\), НМС е равна на \(k\) и се достига при \(x \mp h = 0\).
(Тъй като \((x \pm h)^2\) е винаги \(\ge 0\), най-малката му стойност е 0).
(Тъй като \((x \pm h)^2\) е винаги \(\ge 0\), най-малката му стойност е 0).
Намерете НМС на \(A = x^2 - 10x + 16\).
\[ A = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 16 \]
\[ A = (x-5)^2 - 25 + 16 = (x-5)^2 - 9 \]
Най-малката стойност на \((x-5)^2\) е 0. Следователно НМС на \(A\) е \(-9\) и се достига при \(x-5=0\), т.е. \(x=5\).
Намерете най-малката стойност на израза \(B = x^2 + 4x + 7\).
\[ B = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 7 \]
\[ B = (x+2)^2 - 4 + 7 = (x+2)^2 + 3 \]
НМС е 3 и се достига при \(x=-2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Разложете на множители \(7x^2 - 7\).
Изнасяме общ множител 7: \(7(x^2 - 1)\).
Прилагаме формулата за разлика от квадрати: \(7(x-1)(x+1)\).
Прилагаме формулата за разлика от квадрати: \(7(x-1)(x+1)\).
Средна: Разложете на множители квадратния тричлен \(x^2 - 8x + 15\) чрез допълване до точен квадрат.
\[ x^2 - 8x + 15 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 15 \]
\[ = (x-4)^2 - 16 + 15 = (x-4)^2 - 1 \]
\[ = (x-4-1)(x-4+1) = (x-5)(x-3) \]
Трудна: Намерете най-малката стойност на израза \(A = 3x^2 + 6x - 24\) и стойността на \(x\), за която се достига тя.
Първо изнасяме коефициента пред \(x^2\):
\[ A = 3(x^2 + 2x - 8) \]
Допълваме до точен квадрат израза в скобите:
\[ A = 3 \left( (x^2 + 2x + 1) - 1 - 8 \right) \]
\[ A = 3 \left( (x+1)^2 - 9 \right) \]
Разкриваме скобите:
\[ A = 3(x+1)^2 - 27 \]
Най-малката стойност е \(-27\) и се достига при \(x+1=0\), т.е. при \(x=-1\).
