114. Построяване на Триъгълник по Две Страни и Ъгъл Между Тях

Дадено: отсечка \( a \) Търсим: равнобедрен правоъгълен \( \triangle ABC \) с катети \( CA = CB = a \) Построение: 1. \( Cp^\rightarrow \) 2. \( Cm^\rightarrow \perp Cp^\rightarrow \Rightarrow \sphericalangle C = 90^\circ \) 3. \( k(C; a) \cap Cp^\rightarrow = A \Rightarrow CA = a \) 4. \( k(C; a) \cap Cm^\rightarrow = B \Rightarrow CB = a \) 5. \( \triangle ABC \)

Анализ на задачата

За да построим равнобедрен правоъгълен триъгълник, ни е необходим прав ъгъл (90°). Тъй като триъгълникът е равнобедрен, двата му катета трябва да бъдат равни на дадената отсечка \( a \). Построението се свежда до построяване на перпендикулярни прави и нанасяне на отсечката \( a \) върху тях.
1. Начертайте хоризонтален лъч \( p \) с начало точка \( C \). 2. Постройте права \( m \) през точка \( C \), перпендикулярна на \( p \). Това образува прав ъгъл \( \sphericalangle (p, m) = 90^\circ \). 3. С пергел измерете дължината на дадената отсечка \( a \). 4. С център \( C \) и радиус \( a \) начертайте дъга, която пресича лъча \( p \) в точка \( A \). Така \( CA = a \). 5. С център \( C \) и радиус \( a \) начертайте дъга, която пресича лъча \( m \) в точка \( B \). Така \( CB = a \). 6. Свържете точките \( A \) и \( B \).

Построение

1. Построяваме лъч \( Cp^\rightarrow \). 2. Построяваме права \( m \) така, че \( m \perp Cp^\rightarrow \) в точка \( C \). Получаваме прав ъгъл \( \sphericalangle (Cp^\rightarrow, Cm^\rightarrow) = 90^\circ \). 3. Използваме пергел, за да отмерим дължината на дадената отсечка \( a \). 4. С център \( C \) и радиус \( a \) построяваме дъга, която пресича лъча \( Cp^\rightarrow \) в точка \( A \). По този начин имаме \( CA = a \). 5. Със същия радиус \( a \) и център \( C \) построяваме дъга върху лъча \( Cm^\rightarrow \), която го пресича в точка \( B \). По този начин имаме \( CB = a \). 6. Свързваме точките \( A \) и \( B \).

Обосновка

Полученият триъгълник \( \triangle ABC \) е търсеният, защото по построение \( \sphericalangle C = 90^\circ \) и страните \( CA = CB = a \), което отговаря на определението за равнобедрен правоъгълен триъгълник.

1. Построяваме прав ъгъл с връх \( C \). 2. Върху раменете на ъгъла с пергел нанасяме дължината \( a \), за да получим точки \( A \) и \( B \). 3. Свързваме \( A \) и \( B \), с което получаваме \( \triangle ABC \) с \( CA = CB = a \) и \( \sphericalangle C = 90^\circ \).