Най-важното от урока
Равностранен \(\triangle\): Има 3 равни страни и 3 равни ъгъла (всеки по \(60^\circ\)).
Как да го познаем? Ако трите му ъгъла са равни ИЛИ ако е равнобедрен и има един ъгъл от \(60^\circ\).
Еднаквост: Два равностранни триъгълника са еднакви, ако само една страна от единия е равна на страна от другия. (\(\triangle_1\) с \(a=5\) е еднакъв на \(\triangle_2\) с \(b=5\)).
Как да го познаем? Ако трите му ъгъла са равни ИЛИ ако е равнобедрен и има един ъгъл от \(60^\circ\).
Еднаквост: Два равностранни триъгълника са еднакви, ако само една страна от единия е равна на страна от другия. (\(\triangle_1\) с \(a=5\) е еднакъв на \(\triangle_2\) с \(b=5\)).
Триъгълник, на който и трите страни са равни, се нарича равностранен триъгълник.
Ако в \(\triangle ABC\) имаме \(AB = BC = CA = 7\) см, то триъгълникът е равностранен.
Периметърът на \(\triangle MNP\) е 30 см. Ако \(MN = NP = PM\), какъв е триъгълникът и колко е дължината на страната му?
Тъй като трите страни са равни, триъгълникът е равностранен.
Дължината на страната е \(P : 3 = 30 : 3 = 10\) см.
Дължината на страната е \(P : 3 = 30 : 3 = 10\) см.
В равностранния триъгълник и трите ъгъла са равни, като всеки от тях е \(60^\circ\).
Ако \(AB = BC = CA\), то \(\measuredangle A = \measuredangle B = \measuredangle C = 60^\circ\).
Ако знаем, че \(\triangle XYZ\) е равностранен, можем веднага да заключим, че \(\measuredangle X = 60^\circ\), \(\measuredangle Y = 60^\circ\) и \(\measuredangle Z = 60^\circ\).
В равностранен \(\triangle ABC\) е построена ъглополовящата \(AL\) (\(L \in BC\)). Намерете мярката на \(\measuredangle BAL\).
Ъгъл \(\measuredangle BAC\) в равностранен триъгълник е \(60^\circ\). Тъй като \(AL\) е ъглополовяща, тя го разделя на две равни части.
\(\measuredangle BAL = \frac{1}{2} \cdot \measuredangle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\).
\(\measuredangle BAL = \frac{1}{2} \cdot \measuredangle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\).
Основен признак: Ако в триъгълник трите ъгъла са равни, той е равностранен.
(От \(\measuredangle A = \measuredangle B = \measuredangle C \implies \measuredangle A = 180^\circ : 3 = 60^\circ\))
(От \(\measuredangle A = \measuredangle B = \measuredangle C \implies \measuredangle A = 180^\circ : 3 = 60^\circ\))
Специален признак: Всеки равнобедрен триъгълник с ъгъл \(60^\circ\) е равностранен.
В \(\triangle LMN\) е известно, че \(LM = LN\) и \(\measuredangle M = 60^\circ\). Какъв е триъгълникът?
Тъй като триъгълникът е равнобедрен (\(LM=LN\)), то ъглите срещу тези страни са равни: \(\measuredangle N = \measuredangle M = 60^\circ\).
Третият ъгъл е \(\measuredangle L = 180^\circ - (60^\circ+60^\circ) = 60^\circ\).
Понеже трите ъгъла са по \(60^\circ\), \(\triangle LMN\) е равностранен.
Третият ъгъл е \(\measuredangle L = 180^\circ - (60^\circ+60^\circ) = 60^\circ\).
Понеже трите ъгъла са по \(60^\circ\), \(\triangle LMN\) е равностранен.
Два равностранни триъгълника са еднакви, ако страна от единия триъгълник е равна на страна от другия.
Дадени са равностранни \(\triangle ABC\) и \(\triangle PQR\). Ако знаем, че \(AB = PQ\), можем да заключим, че \(\triangle ABC \cong \triangle PQR\). Това е така, защото всички страни в \(\triangle ABC\) са равни на \(AB\) и всички страни в \(\triangle PQR\) са равни на \(PQ\), следователно трите страни на единия са съответно равни на трите страни на другия (III признак).
Единият равностранен триъгълник има периметър 21 см. Другият равностранен триъгълник има страна 7 см. Еднакви ли са?
Страната на първия триъгълник е \(21 : 3 = 7\) см. Тъй като страната на първия (7 см) е равна на страната на втория (7 см), двата равностранни триъгълника са еднакви.
Задачи за упражнение
Лесна: В равностранен \(\triangle ABC\) е построена височината \(CD\) (\(D \in AB\)). Намерете \(\measuredangle BCD\).
В равностранния триъгълник височината към една страна е също и ъглополовяща на ъгъла срещу нея.
Тъй като \(\measuredangle C = 60^\circ\), то ъглополовящата \(CD\) го разделя на два равни ъгъла.
\(\measuredangle BCD = \frac{1}{2} \cdot \measuredangle C = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\).
Тъй като \(\measuredangle C = 60^\circ\), то ъглополовящата \(CD\) го разделя на два равни ъгъла.
\(\measuredangle BCD = \frac{1}{2} \cdot \measuredangle C = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\).
Средна: Триъгълник \(ABC\) е равностранен. Точки \(M\) и \(N\) са среди съответно на страните \(AC\) и \(BC\). Докажете, че \(\triangle MNC\) е равностранен.
1. От свойството на равностранния \(\triangle ABC\) знаем, че \(\measuredangle C = 60^\circ\) и \(AC = BC\).
2. По условие \(M\) е среда на \(AC\), следователно \(CM = \frac{1}{2}AC\).
3. По условие \(N\) е среда на \(BC\), следователно \(CN = \frac{1}{2}BC\).
4. Тъй като \(AC = BC\), следва, че и техните половинки са равни: \(CM = CN\).
5. От \(CM = CN\) следва, че \(\triangle MNC\) е равнобедрен.
6. \(\triangle MNC\) е равнобедрен с ъгъл между бедрата \(\measuredangle C = 60^\circ\). От специалния признак следва, че \(\triangle MNC\) е равностранен.
2. По условие \(M\) е среда на \(AC\), следователно \(CM = \frac{1}{2}AC\).
3. По условие \(N\) е среда на \(BC\), следователно \(CN = \frac{1}{2}BC\).
4. Тъй като \(AC = BC\), следва, че и техните половинки са равни: \(CM = CN\).
5. От \(CM = CN\) следва, че \(\triangle MNC\) е равнобедрен.
6. \(\triangle MNC\) е равнобедрен с ъгъл между бедрата \(\measuredangle C = 60^\circ\). От специалния признак следва, че \(\triangle MNC\) е равностранен.
Трудна: Върху страните на равностранен \(\triangle ABC\) външно са построени три равностранни триъгълника \(\triangle ABP\), \(\triangle BCQ\) и \(\triangle CAR\). Докажете, че триъгълник \(\triangle PQR\) е равностранен.
Ще докажем, че \(\triangle PAR \cong \triangle QBP \cong \triangle RCQ\), откъдето ще следва, че \(PR = PQ = RQ\).
1. Разглеждаме ъглите около върховете на \(\triangle ABC\). Например \(\measuredangle PAR = \measuredangle PAB + \measuredangle BAC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\). Аналогично \(\measuredangle QBP = 120^\circ\) и \(\measuredangle RCQ = 120^\circ\).
2. Разглеждаме страните на триъгълниците \(\triangle PAR\), \(\triangle QBP\) и \(\triangle RCQ\).
3. Разглеждаме \(\triangle PAR, \triangle QBP, \triangle RCQ\). Те имат по две съответно равни страни и ъгъл \(120^\circ\) между тях. По I признак (SAS) следва, че \(\triangle PAR \cong \triangle QBP \cong \triangle RCQ\).
4. От еднаквостта следва, че третите им страни също са равни: \(PR = PQ = RQ\).
5. Следователно \(\triangle PQR\) е равностранен.
1. Разглеждаме ъглите около върховете на \(\triangle ABC\). Например \(\measuredangle PAR = \measuredangle PAB + \measuredangle BAC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\). Аналогично \(\measuredangle QBP = 120^\circ\) и \(\measuredangle RCQ = 120^\circ\).
2. Разглеждаме страните на триъгълниците \(\triangle PAR\), \(\triangle QBP\) и \(\triangle RCQ\).
- \(PA = AB\) и \(AR = AC\). Тъй като \(AB=AC\), имаме \(PA=AR\).
- \(QB = BC\) и \(BP = AB\). Тъй като \(BC=AB\), имаме \(QB=BP\).
- \(RC = AC\) и \(QC = BC\). Тъй като \(AC=BC\), имаме \(RC=QC\).
3. Разглеждаме \(\triangle PAR, \triangle QBP, \triangle RCQ\). Те имат по две съответно равни страни и ъгъл \(120^\circ\) между тях. По I признак (SAS) следва, че \(\triangle PAR \cong \triangle QBP \cong \triangle RCQ\).
4. От еднаквостта следва, че третите им страни също са равни: \(PR = PQ = RQ\).
5. Следователно \(\triangle PQR\) е равностранен.
