Най-важното от урока
Цял рационален израз: Израз без деление на променлива. Допустимите стойности на променливите са всички рационални числа.
Едночлен: Произведение от константи и променливи. Нормален вид: един числов коефициент отпред и степени на буквите по азбучен ред (напр. \(-6ax^2y^3\)). Степента е сборът от показателите само на променливите (\(2 + 3 = 5\)).
Многочлен: Сбор от едночлени. В нормален вид няма подобни събираеми и е подреден по намаляващи степени на променливата. Степента му е най-високата степен сред съставящите го едночлени.
Основни правила за умножение:
• Едночлен с многочлен: \(a(b + c) = ab + ac\)
• Многочлен с многочлен: \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
Едночлен: Произведение от константи и променливи. Нормален вид: един числов коефициент отпред и степени на буквите по азбучен ред (напр. \(-6ax^2y^3\)). Степента е сборът от показателите само на променливите (\(2 + 3 = 5\)).
Многочлен: Сбор от едночлени. В нормален вид няма подобни събираеми и е подреден по намаляващи степени на променливата. Степента му е най-високата степен сред съставящите го едночлени.
Основни правила за умножение:
• Едночлен с многочлен: \(a(b + c) = ab + ac\)
• Многочлен с многочлен: \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
Променлива величина (променлива): Величина, означена с буква, която може да приема различни числови стойности (обикновено се означава с последните букви на латинската азбука: \(x, y, z, t\)).
Постоянна величина (константа): Величина, която не изменя числовата си стойност при решаването на дадена задача (конкретни числа, както и означения като \(\pi\)).
Параметър: Величина, означена с буква, която в дадена задача при едно условие има постоянна стойност, а при друго условие приема друга постоянна стойност (обикновено се означава с първите букви на латинската азбука: \(a, b, c, k, m\)).
Рационален израз: Израз, съставен от числа и букви, свързани с основните аритметични действия (събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване).
Цял рационален израз: Рационален израз, в който няма деление на променлива.
Изразите \(2x^2 - 5x + 1\), \(\frac{ax - 3}{4}\) и \(3(x+y)\) са цели рационални изрази, докато \(\frac{2}{x}\) и \(\frac{x+1}{x-3}\) не са цели изрази, тъй като съдържат деление на променливата \(x\).
Числена стойност на израз: Числото, получено след заместване на променливите в израза с дадени конкретни стойности и извършване на означените действия.
Допустими стойности (ДС): Стойностите на буквите, за които действията в израза имат математически смисъл. За всеки цял рационален израз допустими стойности на променливите са всички рационални числа.
Тъждествено равни изрази: Два цели рационални израза се наричат тъждествено равни, ако получават равни числени стойности за произволни стойности на променливите.
Пресметнете числената стойност на израза \(A = 2x^2y - a\) при \(x = -1\), \(y = 3\) и \(a = 2\).
Заместваме стойностите в израза:
\[ A = 2 \cdot (-1)^2 \cdot 3 - 2 = 2 \cdot 1 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4 \]
Едночлен: Цял рационален израз, представляващ произведение от постоянни и променливи величини, или отделна константа, параметър или променлива.
Нормален вид на едночлен: Представяне, в което има точно един числов множител (записан най-отпред), а всяка променлива се среща само веднъж, записана като степен. Буквите обичайно се подреждат по азбучен ред.
1. Разместват се множителите, като числовите се поставят отпред, а буквените – по азбучен ред.
2. Умножават се числовите множители.
3. Еднаквите буквени множители се записват като степени: \(x \cdot x^2 = x^3\).
2. Умножават се числовите множители.
3. Еднаквите буквени множители се записват като степени: \(x \cdot x^2 = x^3\).
Коефициент: Произведението от постоянните величини (числа и параметри) в нормалния вид на едночлена.
Степен на едночлен: Сборът от степенните показатели на всички променливи в нормалния вид. Число без променливи има степен 0.
Ако над дадена променлива няма изписан показател, нейната степен е 1 (например \(x = x^1\)). Степенният показател на числовия множител (например \(3^2\)) участва в коефициента, а не в степента на едночлена!
За едночлена \(-2a x^2 y^3\) (където \(a\) е параметър, а \(x, y\) са променливи):
• Коефициентът е \(-2a\)
• Степента е \(2 + 3 = 5\) (пета степен)
• Коефициентът е \(-2a\)
• Степента е \(2 + 3 = 5\) (пета степен)
Подобни едночлени: Едночлени, които в нормален вид имат една и съща буквена част от променливи с равни степенни показатели (различават се само по коефициентите си).
Противоположни едночлени: Подобни едночлени с противоположни коефициенти (напр. \(5x^2\) и \(-5x^2\)). Техният сбор винаги е равен на \(0\).
Събиране и изваждане: При събиране и изваждане на подобни едночлени коефициентите им се събират или изваждат, а буквената част се запазва непроменена:
\[ u x^n \pm v x^n = (u \pm v) x^n \]
Умножение: За да се умножат едночлени, те се записват като общо произведение и полученият израз се привежда в нормален вид, като се прилагат свойствата на степените:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Степенуване: Всеки множител на едночлена се степенува с дадения показател:
\[ (u \cdot x^m)^n = u^n \cdot (x^m)^n = u^n \cdot x^{m \cdot n} \]
Извършете действията: \(A = (-2xy^2)^3 \cdot 3x^2y\).
1. Степенуваме първия едночлен: \((-2xy^2)^3 = (-2)^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = -8x^3y^6\)
2. Умножаваме с втория едночлен: \[ (-8x^3y^6) \cdot (3x^2y) = (-8 \cdot 3) \cdot (x^3 \cdot x^2) \cdot (y^6 \cdot y) = -24x^5y^7 \]
2. Умножаваме с втория едночлен: \[ (-8x^3y^6) \cdot (3x^2y) = (-8 \cdot 3) \cdot (x^3 \cdot x^2) \cdot (y^6 \cdot y) = -24x^5y^7 \]
Многочлен (полином): Алгебричен сбор от едночлени. Едночлените, които го съставят, се наричат членове на многочлена (според броя на членовете бива двучлен, тричлен и т.н.).
Нормален вид на многочлен: Запис, в който всички едночлени са в нормален вид и са извършени всички възможни приведения на подобни едночлени. Обичайно се подрежда по намаляващите степени на основната променлива.
Степен на многочлен: Най-високата от степените на едночлените, участващи в нормалния му вид.
Свободен член: Членът на многочлена, който не съдържа променлива (едночлен от нулева степен).
Многочленът \(A = 4x^3 - 2x^2 + 7x - 5\) е в нормален вид:
• Степен: \(3\) (трета степен, определя се от \(4x^3\))
• Коефициент пред \(x^2\): \(-2\)
• Свободен член: \(-5\)
• Степен: \(3\) (трета степен, определя се от \(4x^3\))
• Коефициент пред \(x^2\): \(-2\)
• Свободен член: \(-5\)
Събиране и изваждане (разкриване на скоби):
• Знак „\(+\)“ пред скоби: скобите се премахват, без да се променят знаците на членовете вътре: \(+(a - b) = a - b\).
• Знак „\(-\)“ пред скоби: скобите се премахват, а знаците на всички членове вътре се сменят с противоположните им: \(-(a - b) = -a + b\).
• Знак „\(+\)“ пред скоби: скобите се премахват, без да се променят знаците на членовете вътре: \(+(a - b) = a - b\).
• Знак „\(-\)“ пред скоби: скобите се премахват, а знаците на всички членове вътре се сменят с противоположните им: \(-(a - b) = -a + b\).
Умножение на едночлен с многочлен:
\[ a(b + c + d) = ab + ac + ad \]
Всеки член на многочлена се умножава с едночлена и получените произведения се събират.
Умножение на многочлен с многочлен:
\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
Всеки член на първия многочлен се умножава с всеки член на втория многочлен и получените едночлени се събират.
1. Извършват се действията степенуване (ако има такива).
2. Извършват се умноженията (едночлен с многочлен или многочлен с многочлен).
3. Разкриват се останалите скоби с отчитане на знака пред тях.
4. Извършва се приведение на подобните едночлени до получаване на нормален вид.
2. Извършват се умноженията (едночлен с многочлен или многочлен с многочлен).
3. Разкриват се останалите скоби с отчитане на знака пред тях.
4. Извършва се приведение на подобните едночлени до получаване на нормален вид.
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Приведете в нормален вид едночлена \(u = -2a x^2 \cdot 3x y^3 \cdot (-0,5y)\), където \(a\) е параметър, а \(x\) и \(y\) са променливи. Намерете коефициента и степента му.
Умножаваме числовите и буквените множители:
\[ u = (-2 \cdot 3 \cdot (-0,5)) \cdot a \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^3 \cdot y) = 3a x^3 y^4 \]
• Коефициент: \(3a\)
• Степен: \(3 + 4 = 7\) (седма степен)
• Степен: \(3 + 4 = 7\) (седма степен)
Задача 2 (Средна): Приведете многочлена в нормален вид и пресметнете числената му стойност при \(x = -2\):
\[ A = (2x - 1)(x + 3) - 2x(x + 2) \]
1. Разкриваме скобите чрез умножение:
\[ (2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3 \]
\[ -2x(x + 2) = -2x^2 - 4x \]
2. Събираме и привеждаме подобните членове:
\[ A = 2x^2 + 5x - 3 - 2x^2 - 4x = (2 - 2)x^2 + (5 - 4)x - 3 = x - 3 \]
3. Пресмятаме числената стойност за \(x = -2\):
\[ A = -2 - 3 = -5 \]
Задача 3 (Средна): Докажете, че стойността на израза не зависи от стойността на променливата \(x\):
\[ B = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x(x^2 - 1) - x + 10 \]
1. Умножаваме многочлените:
\[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 + 2x^2 + 4x - 2x^2 - 4x - 8 = x^3 - 8 \]
2. Умножаваме едночлена с многочлена:
\[ -x(x^2 - 1) = -x^3 + x \]
3. Заместваме обратно и привеждаме:
\[ B = x^3 - 8 - x^3 + x - x + 10 = (x^3 - x^3) + (x - x) + (-8 + 10) = 2 \]
Тъй като след опростяване всички членове с променливата \(x\) се унищожават и резултатът е числото \(2\), изразът е постоянен и не зависи от \(x\).
Задача 4 (Трудна): Намерете най-малката стойност на израза \(C = 3x^2 - 2x + 5 - (2x^2 - 2x + 1)\) и посочете за коя стойност на \(x\) се достига тя.
1. Разкриваме скобите и привеждаме в нормален вид:
\[ C = 3x^2 - 2x + 5 - 2x^2 + 2x - 1 = (3 - 2)x^2 + (-2 + 2)x + (5 - 1) = x^2 + 4 \]
2. Анализираме получената стойност:
Тъй като за всяко рационално число \(x\) имаме \(x^2 \ge 0\), то най-малката възможна стойност на \(x^2\) е \(0\) (при \(x = 0\)).
Следователно най-малката стойност на израза \(C = x^2 + 4\) е \(0 + 4 = 4\) и се получава при \(x = 0\).
Следователно най-малката стойност на израза \(C = x^2 + 4\) е \(0 + 4 = 4\) и се получава при \(x = 0\).
