Най-важното от урока
Аксиома на успоредните прави: През точка извън дадена права минава точно една права, успоредна на дадената.
Свойство на успоредните прави: Ако две прави са успоредни на трета, те са успоредни помежду си. (Ако \(a \parallel c\) и \(b \parallel c\), то \(a \parallel b\)).
Свойство за пресичане: Ако една права пресече една от две успоредни прави, тя задължително пресича и другата.
Косвено доказателство: За да докажеш, че нещо е вярно, допусни, че е невярно и покажи, че това води до противоречие.
Свойство на успоредните прави: Ако две прави са успоредни на трета, те са успоредни помежду си. (Ако \(a \parallel c\) и \(b \parallel c\), то \(a \parallel b\)).
Свойство за пресичане: Ако една права пресече една от две успоредни прави, тя задължително пресича и другата.
Косвено доказателство: За да докажеш, че нещо е вярно, допусни, че е невярно и покажи, че това води до противоречие.
Това е основно твърдение (аксиома), което не се доказва: През точка, нележаща на дадена права, минава не повече от една права, успоредна на дадената.
Тази аксиома не твърди, че успоредна права съществува, а само че ако съществува, тя е единствена.
Дадена е права \(a\) и точка \(C\), която не е от \(a\). Ако построим права \(b\) през \(C\), която е успоредна на \(a\), то всяка друга права \(d\), която минава през \(C\), ще пресече правата \(a\).
Дадени са права \(p\) и точка \(M\), нележаща на \(p\). Колко най-много прави, успоредни на \(p\), могат да минават през \(M\)?
Отговор: Според аксиомата на успоредните прави, през точка \(M\) може да минава не повече от една права, успоредна на \(p\).
През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, успоредна на дадената.
Тази теорема комбинира аксиомата (която гарантира, че правата е най-много една) и възможността за построяване на успоредна права (което доказва, че такава права съществува).
Чрез построяване на равни кръстни ъгли можем да начертаем права \(c\), успоредна на дадена права \(a\) и минаваща през точка \(C\). От аксиомата знаем, че тази построена права \(c\) е единствената възможна.
Ако знаем, че правите \(m\) и \(n\) са успоредни, може ли да съществува трета права \(k\), която минава през същата точка като \(m\) и също е успоредна на \(n\)?
Отговор: Не. Ако \(m\) и \(k\) минават през една и съща точка и са успоредни на \(n\), то те трябва да съвпадат, защото през точка може да мине точно една успоредна права.
Ако две различни прави са успоредни на трета, то те са успоредни помежду си.
Ако \(a \parallel c\) и \(b \parallel c\), то \(a \parallel b\).
Ако първият ред чинове в класната стая е успореден на последния ред, и средният ред също е успореден на последния, то първият и средният ред са успоредни помежду си.
Дадени са правите \(p, q, r\). Известно е, че \(p \parallel q\) и \(r \parallel p\). Какво е взаимното положение на правите \(q\) и \(r\)?
Отговор: Тъй като \(q \parallel p\) и \(r \parallel p\), от теоремата следва, че \(q \parallel r\).
Ако права пресича едната от две успоредни прави, тя пресича и другата.
Ако \(a \parallel b\) и права \(c\) пресича \(a\), то \(c\) пресича и \(b\).
Представете си две успоредни улици. Ако една трета улица пресича първата, тя задължително ще пресече и втората (освен ако не свършва между тях, но в геометрията правите са безкрайни).
Дадени са \(m \parallel n\). Права \(t\) е перпендикулярна на \(m\). Ще пресече ли правата \(t\) и правата \(n\)?
Отговор: Да. Щом \(t\) е перпендикулярна на \(m\), значи я пресича. Тъй като \(m \parallel n\), от теоремата следва, че \(t\) трябва да пресече и \(n\).
Нарича се още "доказателство чрез допускане на противното". Това е метод, при който, за да докажем едно твърдение, правим следното:
Допускаме, че твърдението, което искаме да докажем, е грешно.
Чрез логически разсъждения показваме, че това допускане води до противоречие с дадено условие, аксиома или вече доказана теорема.
Щом допускането води до противоречие, значи то е невярно. Следователно първоначалното твърдение е вярно.
Да докажем: Ако \(a \parallel c\) и \(b \parallel c\), то \(a \parallel b\).
Косвено доказателство:
1. Допускаме противното: \(a\) и \(b\) не са успоредни, т.е. се пресичат в точка \(M\).
2. Търсим противоречие: Щом \(M\) лежи и на \(a\), и на \(b\), а \(a \parallel c\) и \(b \parallel c\), излиза, че през точка \(M\) минават две различни прави (\(a\) и \(b\)), успоредни на \(c\). Това противоречи на аксиомата за успоредните прави.
3. Заключение: Допускането ни е грешно. Следователно \(a \parallel b\).
Косвено доказателство:
1. Допускаме противното: \(a\) и \(b\) не са успоредни, т.е. се пресичат в точка \(M\).
2. Търсим противоречие: Щом \(M\) лежи и на \(a\), и на \(b\), а \(a \parallel c\) и \(b \parallel c\), излиза, че през точка \(M\) минават две различни прави (\(a\) и \(b\)), успоредни на \(c\). Това противоречи на аксиомата за успоредните прави.
3. Заключение: Допускането ни е грешно. Следователно \(a \parallel b\).
Каква е първата стъпка, ако искате да докажете по косвен път твърдението "Правата \(c\) пресича правата \(d\)"?
Отговор: Първата стъпка е да се допусне противното: "Правата \(c\) не пресича правата \(d\)", т.е. \(c \parallel d\).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадени са три различни писти на летище: Писта 1, Писта 2 и Писта 3. Известно е, че Писта 1 е успоредна на Писта 3, а Писта 2 също е успоредна на Писта 3. Какво е взаимното положение на Писта 1 и Писта 2?
Отговор: Писта 1 и Писта 2 са успоредни. Това следва директно от Теорема 2.
Средна: Дадени са успоредните прави \(a\) и \(b\). Точка \(M\) лежи на правата \(a\). Може ли през точка \(M\) да се построи права \(c\), която е успоредна на \(b\)? Обосновете се.
Отговор: Не, освен ако \(c\) не съвпада с \(a\). Да допуснем, че през \(M\) минава права \(c\), различна от \(a\), която е успоредна на \(b\). Тъй като \(a \parallel b\), това би означавало, че през точка \(M\) минават две различни прави (\(a\) и \(c\)), които са успоредни на \(b\). Това противоречи на аксиомата за успоредните прави, защото точка \(M\) не лежи на \(b\). Следователно единствената права през \(M\), успоредна на \(b\), е самата права \(a\).
Трудна: Дадени са две успоредни прави \(g\) и \(h\). Правата \(t\) е перпендикулярна на \(g\). Докажете, че \(t\) е перпендикулярна и на \(h\).
1. От условието \(t \perp g\) знаем, че правата \(t\) пресича правата \(g\) (под прав ъгъл).
2. Тъй като \(g \parallel h\) и \(t\) пресича \(g\), от Теорема 3 следва, че \(t\) трябва да пресече и \(h\). Нека пресечната им точка е \(N\).
3. Тъй като \(g \parallel h\), то съответните ъгли, образувани при пресичането им с \(t\), са равни. Ъгълът между \(t\) и \(g\) е 90°. Следователно съответният му ъгъл между \(t\) и \(h\) също е 90°.
4. Щом ъгълът между \(t\) и \(h\) е 90°, това по определение означава, че \(t \perp h\).
2. Тъй като \(g \parallel h\) и \(t\) пресича \(g\), от Теорема 3 следва, че \(t\) трябва да пресече и \(h\). Нека пресечната им точка е \(N\).
3. Тъй като \(g \parallel h\), то съответните ъгли, образувани при пресичането им с \(t\), са равни. Ъгълът между \(t\) и \(g\) е 90°. Следователно съответният му ъгъл между \(t\) и \(h\) също е 90°.
4. Щом ъгълът между \(t\) и \(h\) е 90°, това по определение означава, че \(t \perp h\).
