Най-важното от урока
Основни понятия: Геометрията се изгражда върху точка, права и равнина, които приемаме без дефиниция.
Аксиоми: Това са "правилата на играта" - основни твърдения, които приемаме за верни без доказателство. Пример: През две точки \(A\) и \(B\) минава само една права \(AB\).
Определения: Въвеждат нови понятия чрез вече познати. Пример: Отсечка е част от права, ограничена от две точки.
Теореми: Твърдения, които се доказват логически, стъпвайки на аксиоми и вече доказани теореми.
Аксиоми: Това са "правилата на играта" - основни твърдения, които приемаме за верни без доказателство. Пример: През две точки \(A\) и \(B\) минава само една права \(AB\).
Определения: Въвеждат нови понятия чрез вече познати. Пример: Отсечка е част от права, ограничена от две точки.
Теореми: Твърдения, които се доказват логически, стъпвайки на аксиоми и вече доказани теореми.
Понятията точка, права и равнина са основни (базисни) в геометрията. Те се приемат без дефиниция, защото няма по-прости понятия, с които да бъдат обяснени. Всички останали геометрични фигури и понятия се дефинират чрез тях.
За да дефинираме понятието "отсечка", първо трябва да знаем какво е "права" и "точка". Но самите "права" и "точка" са основни понятия, които приемаме интуитивно.
Кое от следните понятия НЕ е основно: точка, триъгълник, права, равнина?
Отговор: Триъгълник. Той се дефинира като фигура, съставена от три точки, които не лежат на една права, и съединяващите ги отсечки.
- Точка се означава с главни латински букви: \(A, B, C, ...\)
- Права се означава с малки латински букви: \(a, b, c, ...\) или с две точки от нея, например права \(AB\).
- Равнина се означава с малки гръцки букви: \(\alpha, \beta, \gamma, ...\)
Записът \(N \notin a\) се чете: "Точката N не лежи на правата a".
Как ще запишете със символи, че точка \(P\) лежи на права \(b\)?
Отговор: \(P \in b\).
Аксиомите са основни твърдения, които се приемат за верни без доказателство. Те служат като основа за доказване на по-сложни твърдения (теореми).
Аксиома (А2): През две различни точки минава само една (единствена) права.
Ако имате две точки \(A\) и \(B\) върху лист хартия, можете да прекарате само една-единствена права линия, която да минава и през двете едновременно. Всеки друг опит ще доведе до същата права.
Дадени са две различни точки \(K\) и \(L\). Колко прави може да се начертаят, които да минават едновременно през двете точки?
Отговор: Само една права, съгласно аксиомата, че през две различни точки минава единствена права.
Определение: Изречение, което въвежда ново понятие чрез вече известни (основни или дефинирани по-рано) понятия.
Теорема: Твърдение, чиято вярност трябва да се установи чрез логически разсъждения (доказателство), основани на аксиоми и вече доказани теореми.
"Всеки ъгъл, който е по-малък от \(90^\circ\), е остър" е определение.
"Сборът от ъглите в триъгълника е \(180^\circ\)" е теорема, която се доказва.
"Сборът от ъглите в триъгълника е \(180^\circ\)" е теорема, която се доказва.
Твърдението "Противоположните ъгли са равни" аксиома ли е или теорема?
Отговор: Това е теорема. Нейната вярност се доказва с помощта на определението за съседни ъгли и техните свойства.
Задачи за упражнение
Лесна: Как се чете записът \(D \notin c\)?
Отговор: "Точката D не лежи на правата c" или "Точката D не е от правата c".
Средна: Дадени са три точки \(A\), \(B\) и \(C\), които не лежат на една права. Колко прави могат да се построят, така че всяка права да минава през точно две от тези точки? Назовете ги.
Според аксиомата, че през две точки минава единствена права, можем да построим следните прави:
- Права през точките \(A\) и \(B\) (права \(AB\)).
- Права през точките \(B\) и \(C\) (права \(BC\)).
- Права през точките \(A\) и \(C\) (права \(AC\)).
Трудна: Обяснете каква е разликата между аксиома и теорема, като използвате за примери твърденията:
1) "През две различни точки минава само една права".
2) "Сборът на два съседни ъгъла е 180°".
1) "През две различни точки минава само една права".
2) "Сборът на два съседни ъгъла е 180°".
Твърдение 1 е аксиома. Приемаме го за вярно без нужда от доказателство. То е една от основите на геометрията.
Твърдение 2 е теорема. Неговата вярност се доказва, като се използва определението за съседни ъгли (лъчите им образуват изправен ъгъл, а мярката на изправения ъгъл е \(180^\circ\)).
Твърдение 2 е теорема. Неговата вярност се доказва, като се използва определението за съседни ъгли (лъчите им образуват изправен ъгъл, а мярката на изправения ъгъл е \(180^\circ\)).
