Най-важното от урока
Събиране/Изваждане: Можете да добавяте или изваждате едно и също число от двете страни, без да променяте знака на неравенството. Пример: \(x-2 > 5 \implies x > 7\).
Умножение/Деление с ПОЛОЖИТЕЛНО число: Можете да умножавате или делите с положително число, без да променяте знака. Пример: \(4x < 12 \implies x < 3\).
Умножение/Деление с ОТРИЦАТЕЛНО число: Когато умножавате или делите с отрицателно число, ЗАДЪЛЖИТЕЛНО обръщате знака на неравенството. Пример: \(-4x < 12 \implies x > -3\).
Умножение/Деление с ПОЛОЖИТЕЛНО число: Можете да умножавате или делите с положително число, без да променяте знака. Пример: \(4x < 12 \implies x < 3\).
Умножение/Деление с ОТРИЦАТЕЛНО число: Когато умножавате или делите с отрицателно число, ЗАДЪЛЖИТЕЛНО обръщате знака на неравенството. Пример: \(-4x < 12 \implies x > -3\).
Израз от вида \(a > b\) или \(a < b\), където \(a\) и \(b\) са числа, се нарича числово неравенство.
Симетрия: Ако \(a < b\), то е вярно и \(b > a\).
Пример: От \(-2 < 7\) следва, че \(7 > -2\).
Пример: От \(-2 < 7\) следва, че \(7 > -2\).
Транзитивност: Ако \(a < b\) и \(b < c\), то \(a < c\).
Пример: От \(-2 < 5\) и \(5 < 7\) следва, че \(-2 < 7\).
Пример: От \(-2 < 5\) и \(5 < 7\) следва, че \(-2 < 7\).
Ако знаем, че \(A > B\) и \(B > C\), какво можем да заключим за връзката между \(A\) и \(C\)?
Според транзитивното свойство можем да заключим, че \(A > C\).
Две неравенства са еквивалентни, ако от верността на първото следва верността на второто и обратно.
Ако към двете страни на вярно неравенство прибавим или извадим едно и също число, посоката на неравенството се запазва.
\[ a < b \iff a \pm c < b \pm c \]
Това свойство позволява прехвърляне на членове от едната страна на неравенството в другата, като им сменяме знака.
Неравенството \(x+5 > 9\) е еквивалентно на \(x > 9-5\), тоест \(x > 4\).
Преобразувайте неравенството \(10 < y - 3\), като прехвърлите числото \(-3\) в лявата страна.
Прехвърляме \(-3\) отдясно вляво, като сменяме знака му на "+".
\(10 + 3 < y \implies 13 < y\), което е същото като \(y > 13\).
\(10 + 3 < y \implies 13 < y\), което е същото като \(y > 13\).
При умножение или деление на двете страни на неравенство с положително число (\(c>0\)), посоката на неравенството СЕ ЗАПАЗВА.
\(a < b \iff a \cdot c < b \cdot c\)
От \(8 > 6\), като разделим на \(2\) (положително число), получаваме \(8:2 > 6:2 \implies 4 > 3\). Посоката е запазена.
При умножение или деление на двете страни на неравенство с отрицателно число (\(c<0\)), посоката на неравенството СЕ ОБРЪЩА.
\(a < b \iff a \cdot c > b \cdot c\)
От \(8 > 6\), като умножим по \(-1\) (отрицателно число), получаваме \(8 \cdot (-1) < 6 \cdot (-1) \implies -8 < -6\). Посоката е обърната.
Преобразувайте неравенството \(-5x < 20\), така че отляво да остане само \(x\).
Трябва да разделим двете страни на \(-5\). Тъй като \(-5\) е отрицателно число, трябва да обърнем посоката на неравенството.
\[ \frac{-5x}{-5} > \frac{20}{-5} \implies x > -4 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Преобразувайте неравенството \(x - 7 < 10\) така, че отляво да остане само \(x\).
Прехвърляме \(-7\) от лявата в дясната страна със знак "+":
\(x < 10 + 7 \implies x < 17\).
\(x < 10 + 7 \implies x < 17\).
Средна: От неравенството \(3x > -12\) получете еквивалентно неравенство за \(x\).
Делим двете страни на \(3\). Тъй като \(3\) е положително число, запазваме посоката на неравенството.
\(\frac{3x}{3} > \frac{-12}{3} \implies x > -4\).
\(\frac{3x}{3} > \frac{-12}{3} \implies x > -4\).
Трудна: Вярно ли е, че от неравенството \(14 - 2x > 8\) следва, че \(x > 3\)? Обосновете се.
Не, не е вярно.
Стъпка 1: Прехвърляме 14 вдясно.
\(-2x > 8 - 14 \implies -2x > -6\)
Стъпка 2: Делим двете страни на \(-2\). Тъй като делим на отрицателно число, обръщаме знака на неравенството.
\(\frac{-2x}{-2} < \frac{-6}{-2} \implies x < 3\)
Правилният извод е \(x < 3\), а не \(x > 3\).
Стъпка 1: Прехвърляме 14 вдясно.
\(-2x > 8 - 14 \implies -2x > -6\)
Стъпка 2: Делим двете страни на \(-2\). Тъй като делим на отрицателно число, обръщаме знака на неравенството.
\(\frac{-2x}{-2} < \frac{-6}{-2} \implies x < 3\)
Правилният извод е \(x < 3\), а не \(x > 3\).
