Най-важното от урока
Определение: Правоъгълникът е успоредник с прав ъгъл. Всичките му ъгли са по \(90^\circ\).
Ключово свойство: Диагоналите на правоъгълника са равни.
Ключов признак: Успоредник е правоъгълник тогава и само тогава, когато диагоналите му са равни.
Практически трикове:
Ключово свойство: Диагоналите на правоъгълника са равни.
Ключов признак: Успоредник е правоъгълник тогава и само тогава, когато диагоналите му са равни.
Практически трикове:
- Ъглополовящата на прав ъгъл в правоъгълник създава равнобедрен правоъгълен триъгълник (\(45^\circ-45^\circ-90^\circ\)).
- Ако ъгълът между диагоналите е \(60^\circ\), се образува равностранен триъгълник с по-малката страна на правоъгълника.
Успоредник с прав ъгъл се нарича правоъгълник.
Тъй като е вид успоредник, правоъгълникът притежава всички негови свойства (срещуположните страни са успоредни и равни). От наличието на един прав ъгъл следва, че всичките му ъгли са по \(90^\circ\).
Ако ABCD е правоъгълник, то \(AB \parallel CD\), \(AD \parallel BC\), \(AB = CD\), \(AD = BC\) и \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\).
В правоъгълник ABCD страната AB е 8 cm, а страната BC е 5 cm. Каква е дължината на страните CD и AD?
Тъй като срещуположните страни в правоъгълника са равни:
\(CD = AB = 8\) cm
\(AD = BC = 5\) cm
\(CD = AB = 8\) cm
\(AD = BC = 5\) cm
В правоъгълника диагоналите са равни.
Диагоналите също така се разполовяват от пресечната си точка (свойство, наследено от успоредника). Това означава, че четирите отсечки, на които се разделят диагоналите от пресечната им точка, са равни.
В правоъгълник ABCD е даден диагонал \(AC = 10\) cm. От свойството следва, че диагоналът \(BD\) също е 10 cm. Ако \(O\) е пресечната им точка, то \(AO = OC = BO = OD = 5\) cm.
Диагоналите AC и BD на правоъгълник ABCD се пресичат в точка O. Ако отсечката BO е дълга 6 cm, колко е дължината на диагонала AC?
Тъй като диагоналите се разполовяват, \(BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12\) cm. Понеже диагоналите в правоъгълника са равни, \(AC = BD = 12\) cm.
Ако един успоредник има равни диагонали, той е правоъгълник.
Даден е успоредник MNPQ. Ако измерим диагоналите му и установим, че \(MP = NQ\), можем да заключим, че MNPQ е правоъгълник.
Един успоредник има диагонали с дължини 15 cm и 15 cm. Какъв е видът на този успоредник?
Тъй като успоредникът има равни диагонали, той е правоъгълник.
Ако един четириъгълник има три прави ъгъла, той е правоъгълник.
Сборът на ъглите в четириъгълник е \(360^\circ\). Ако три от ъглите са по \(90^\circ\), то четвъртият също ще бъде \(360^\circ - 3 \cdot 90^\circ = 90^\circ\).
Ако за четириъгълник ABCD знаем, че \(\angle B = 90^\circ\), \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle D = 90^\circ\), то той задължително е правоъгълник.
В четириъгълник три от ъглите са прави. Какъв е видът на четириъгълника?
Според признака, четириъгълник с три прави ъгъла е правоъгълник.
Задачи за упражнение
Лесна: Периметърът на правоъгълник е 30 cm, а едната му страна е 9 cm. Намерете дължината на другата му страна.
Формулата за периметър е \(P = 2(a+b)\).
\(30 = 2(9+b)\)
\(15 = 9+b\)
\(b = 15 - 9 = 6\) cm.
Отговор: Другата страна е 6 cm.
\(30 = 2(9+b)\)
\(15 = 9+b\)
\(b = 15 - 9 = 6\) cm.
Отговор: Другата страна е 6 cm.
Средна: В правоъгълник ABCD ъглополовящата на \(\angle DAB\) пресича страната CD в точка М. Ако \(AD = 7\) cm, намерете дължината на страната CD.
1. AM е ъглополовяща \(\Rightarrow \angle DAM = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\).
2. \(AB \parallel CD \Rightarrow \angle DMA = \angle MAB\) (кръстни ъгли). Тъй като \(\angle MAB\) също е \(45^\circ\), то \(\angle DMA = 45^\circ\).
3. В \(\triangle ADM\) ъглите при основата AM са равни (\(\angle DAM = \angle DMA = 45^\circ\)), следователно той е равнобедрен и \(DM = AD = 7\) cm.
4. От условието на задача 2 от урока (M е среда на CD) следва, че \(CD=2 \cdot DM = 14 \text{ cm}\). Ако това условие не е дадено, задачата е нерешима само с тази информация. Приемаме, че M е среда.
Отговор: Ако M е среда на CD, то CD = 14 cm.
2. \(AB \parallel CD \Rightarrow \angle DMA = \angle MAB\) (кръстни ъгли). Тъй като \(\angle MAB\) също е \(45^\circ\), то \(\angle DMA = 45^\circ\).
3. В \(\triangle ADM\) ъглите при основата AM са равни (\(\angle DAM = \angle DMA = 45^\circ\)), следователно той е равнобедрен и \(DM = AD = 7\) cm.
4. От условието на задача 2 от урока (M е среда на CD) следва, че \(CD=2 \cdot DM = 14 \text{ cm}\). Ако това условие не е дадено, задачата е нерешима само с тази информация. Приемаме, че M е среда.
Отговор: Ако M е среда на CD, то CD = 14 cm.
Трудна: Ъгълът между диагоналите на правоъгълник е \(60^\circ\). Намерете дължината на диагоналите, ако по-малката страна на правоъгълника е 5 cm.
1. Нека ABCD е правоъгълникът, \(O\) е пресечната точка на диагоналите \(AC\) и \(BD\), а по-малката страна е \(AB=5\) cm. Нека \(\angle AOB = 60^\circ\).
2. В правоъгълника \(AC=BD\) и \(AO=BO=CO=DO\).
3. Разглеждаме \(\triangle AOB\). Той е равнобедрен, защото \(AO=BO\). Тъй като ъгълът при върха му \(O\) е \(60^\circ\), то и ъглите при основата са \((180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ\).
4. Следователно \(\triangle AOB\) е равностранен и \(AO = BO = AB = 5\) cm.
5. Диагоналът \(AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 5 = 10\) cm.
Отговор: Дължината на диагоналите е 10 cm.
2. В правоъгълника \(AC=BD\) и \(AO=BO=CO=DO\).
3. Разглеждаме \(\triangle AOB\). Той е равнобедрен, защото \(AO=BO\). Тъй като ъгълът при върха му \(O\) е \(60^\circ\), то и ъглите при основата са \((180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ\).
4. Следователно \(\triangle AOB\) е равностранен и \(AO = BO = AB = 5\) cm.
5. Диагоналът \(AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 5 = 10\) cm.
Отговор: Дължината на диагоналите е 10 cm.
