Най-важното от урока
Решаване на неравенства: Следвайте стъпките за решаване на уравнения, но не забравяйте да обърнете знака, ако умножавате или делите с отрицателно число. Пример: \(-3x < 12 \implies x > -4\).
Дроби: Освободете се от знаменателите, като умножите цялото неравенство с тяхното най-малко общо кратно (НОК).
Специални случаи: Ако неизвестното изчезне, проверете дали полученото числово твърдение е вярно (всяко число е решение) или невярно (няма решение). Пример: \(x+2 < x+1 \implies 2<1\) (невярно) \(\implies\) няма решение.
Еквивалентност: Уравненията са еквивалентни само ако имат напълно еднакви множества от решения.
Дроби: Освободете се от знаменателите, като умножите цялото неравенство с тяхното най-малко общо кратно (НОК).
Специални случаи: Ако неизвестното изчезне, проверете дали полученото числово твърдение е вярно (всяко число е решение) или невярно (няма решение). Пример: \(x+2 < x+1 \implies 2<1\) (невярно) \(\implies\) няма решение.
Еквивалентност: Уравненията са еквивалентни само ако имат напълно еднакви множества от решения.
При решаване на уравнения и неравенства се извършват еднакви стъпки: разкриване на скоби, прехвърляне на членове от едната страна в другата с противоположен знак и опростяване.
Основната разлика е, че при умножаване или деление на двете страни на неравенство с отрицателно число, посоката на неравенството задължително се сменя.
Да решим неравенството \(10 - 2x > 4\).
Прехвърляме 10 от другата страна:
\[-2x > 4 - 10\]
\[-2x > -6\]
Делим двете страни на \(-2\) и обръщаме знака на неравенството:
\[x < \frac{-6}{-2}\]
\[x < 3\]
Решете неравенството \(5 - 3x \geq 11\).
\(-3x \geq 11 - 5\)
\(-3x \geq 6\)
\(x \leq \frac{6}{-3}\)
\(x \leq -2\)
\(-3x \geq 6\)
\(x \leq \frac{6}{-3}\)
\(x \leq -2\)
За да решим неравенство, съдържащо дроби, първо намираме най-малкото общо кратно (НОК) на всички знаменатели и умножаваме двете страни на неравенството с него.
Да решим неравенството \(\frac{x}{3} - \frac{1}{2} > 1\).
НОК на знаменателите 3 и 2 е 6. Умножаваме двете страни по 6:
\[6 \cdot \left(\frac{x}{3} - \frac{1}{2}\right) > 6 \cdot 1\]
\[\frac{6x}{3} - \frac{6}{2} > 6\]
Опростяваме и решаваме полученото неравенство:
\[2x - 3 > 6\]
\[2x > 9\]
\[x > \frac{9}{2} \text{ или } x > 4.5\]
Решете неравенството \(\frac{y}{4} + 2 \leq \frac{y}{3}\).
НОК на 4 и 3 е 12.
\(12 \cdot \left(\frac{y}{4} + 2\right) \leq 12 \cdot \frac{y}{3}\)
\(3y + 24 \leq 4y\)
\(24 \leq 4y - 3y\)
\(24 \leq y\) или \(y \geq 24\).
\(12 \cdot \left(\frac{y}{4} + 2\right) \leq 12 \cdot \frac{y}{3}\)
\(3y + 24 \leq 4y\)
\(24 \leq 4y - 3y\)
\(24 \leq y\) или \(y \geq 24\).
Понякога след опростяване всички членове, съдържащи неизвестно, се унищожават. Решението тогава зависи от верността на полученото числово равенство или неравенство.
При решаване на уравнението \(3(x+2) = 3x+6\) се стига до \(3x+6=3x+6\), което се опростява до \(0x=0\) или \(6=6\). Това е вярно за всяко \(x\).
При решаване на \(3(x+2) = 3x+7\) се стига до \(6=7\), което е невярно. Уравнението няма решение.
При решаване на неравенството \(x+5 > x+2\) се стига до \(5>2\). Това е вярно, следователно всяко число е решение.
При решаване на \(x+5 < x+2\) се стига до \(5<2\). Това е невярно, следователно неравенството няма решение.
При решаване на \(3(x+2) = 3x+7\) се стига до \(6=7\), което е невярно. Уравнението няма решение.
При решаване на неравенството \(x+5 > x+2\) се стига до \(5>2\). Това е вярно, следователно всяко число е решение.
При решаване на \(x+5 < x+2\) се стига до \(5<2\). Това е невярно, следователно неравенството няма решение.
Има ли решение неравенството \(2(x-1) \geq 2x+1\)?
\(2x - 2 \geq 2x + 1\)
\(-2 \geq 1\)
Полученото неравенство е невярно, следователно задачата няма решение.
\(-2 \geq 1\)
Полученото неравенство е невярно, следователно задачата няма решение.
Две уравнения се наричат еквивалентни, ако имат едно и също множество от решения.
Уравненията \(x+3=5\) и \(2x=4\) са еквивалентни, защото и двете имат единствен корен \(x=2\).
Уравненията \(x=1\) и \(x^2=1\) не са еквивалентни, защото първото има корен \(\{1\}\), а второто има корени \(\{-1, 1\}\).
Уравненията \(x=1\) и \(x^2=1\) не са еквивалентни, защото първото има корен \(\{1\}\), а второто има корени \(\{-1, 1\}\).
Еквивалентни ли са уравненията \((x-3)(x+1)=0\) и \(x-3=0\)?
Не. Първото уравнение има решения \(x_1=3\) и \(x_2=-1\). Второто има само решение \(x=3\). Тъй като множествата от решения \(\{-1, 3\}\) и \(\{3\}\) не съвпадат, уравненията не са еквивалентни.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(\frac{x+1}{2} = 3\).
Умножаваме двете страни по 2:
\(x+1 = 6\)
\(x = 5\)
\(x+1 = 6\)
\(x = 5\)
Средна: Намерете най-малкото цяло число, което е решение на неравенството:
\[\frac{2y - 1}{4} - \frac{y - 2}{7} \geq \frac{3y}{14}\]
НОК(4, 7, 14) = 28. Умножаваме по 28:
\(7(2y - 1) - 4(y - 2) \geq 2(3y)\)
\(14y - 7 - 4y + 8 \geq 6y\)
\(10y + 1 \geq 6y\)
\(4y \geq -1\)
\(y \geq -0.25\)
Най-малкото цяло число, което е по-голямо или равно на -0.25, е 0.
Отговор: 0.
\(7(2y - 1) - 4(y - 2) \geq 2(3y)\)
\(14y - 7 - 4y + 8 \geq 6y\)
\(10y + 1 \geq 6y\)
\(4y \geq -1\)
\(y \geq -0.25\)
Най-малкото цяло число, което е по-голямо или равно на -0.25, е 0.
Отговор: 0.
Трудна: Решете квадратното неравенство \(4x^2 + 2x + 8 \geq 0\).
Разглеждаме квадратния тричлен \(f(x) = 4x^2 + 2x + 8\).
Намираме дискриминантата му: \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 8 = 4 - 128 = -124\).
Тъй като \(D < 0\) и коефициентът пред \(x^2\) (\(a=4\)) е положителен, квадратният тричлен е винаги положителен за всяка стойност на \(x\).
Следователно неравенството \(4x^2 + 2x + 8 \geq 0\) е вярно за всяко реално число.
Отговор: Всяко \(x\) е решение, или \(x \in (-\infty; +\infty)\).
Намираме дискриминантата му: \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 8 = 4 - 128 = -124\).
Тъй като \(D < 0\) и коефициентът пред \(x^2\) (\(a=4\)) е положителен, квадратният тричлен е винаги положителен за всяка стойност на \(x\).
Следователно неравенството \(4x^2 + 2x + 8 \geq 0\) е вярно за всяко реално число.
Отговор: Всяко \(x\) е решение, или \(x \in (-\infty; +\infty)\).
