Най-важното от урока
Формули: Запомнете формулите за съкратено умножение, те са основа за преобразуване на изрази. Пример: \((x-3)^2 = x^2 - 6x + 9\).
Уравнения и неравенства: Прехвърляйте членове и приведете до най-прост вид. При неравенства, внимавайте при делене/умножение с отрицателно число! Пример: \(-3x < 12 \Rightarrow x > -4\).
Еднакви триъгълници: Използвайте трите признака (ССЪ, ЪСЪ, ССС), за да доказвате равенство на страни и ъгли.
Геометрични фигури: Научете свойствата на триъгълници (правоъгълен, равнобедрен) и успоредници (правоъгълник, ромб). Те дават готови зависимости. Пример: В правоъгълен \(\triangle\) с ъгъл \(30^\circ\), катетът срещу него е \(c/2\). В ромб диагоналите са перпендикулярни.
Уравнения и неравенства: Прехвърляйте членове и приведете до най-прост вид. При неравенства, внимавайте при делене/умножение с отрицателно число! Пример: \(-3x < 12 \Rightarrow x > -4\).
Еднакви триъгълници: Използвайте трите признака (ССЪ, ЪСЪ, ССС), за да доказвате равенство на страни и ъгли.
Геометрични фигури: Научете свойствата на триъгълници (правоъгълен, равнобедрен) и успоредници (правоъгълник, ромб). Те дават готови зависимости. Пример: В правоъгълен \(\triangle\) с ъгъл \(30^\circ\), катетът срещу него е \(c/2\). В ромб диагоналите са перпендикулярни.
Това са ключови формули, които улесняват разкриването на скоби и разлагането на многочлени на множители.
\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
\((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
\(a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\)
Пресмятане на \(9,9^2\) по рационален начин:
\[ 9,9^2 = (10-0,1)^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 0,1 + 0,1^2 = 100 - 2 + 0,01 = 98,01 \]
Разкрийте скобите: \((2x - 5)^2\).
\((2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25\)
Процес на представяне на многочлен като произведение на по-прости множители. Основни методи са изнасяне на общ множител, групиране и прилагане на формулите за съкратено умножение.
Разложете на множители: \( (x-2y)^2 + 2x - 4y \).
Групираме вторите два члена и изнасяме общ множител: \[ (x-2y)^2 + 2(x-2y) \] Изнасяме общия множител \((x-2y)\): \[ (x-2y)(x-2y+2) \]
Групираме вторите два члена и изнасяме общ множител: \[ (x-2y)^2 + 2(x-2y) \] Изнасяме общия множител \((x-2y)\): \[ (x-2y)(x-2y+2) \]
Разложете на множители: \(16a^2 - 81\).
Прилагаме формулата за разлика на квадрати \(a^2 - b^2\):
\[ 16a^2 - 81 = (4a)^2 - 9^2 = (4a - 9)(4a + 9) \]
Целта е да се намери стойността на неизвестното \(x\), за която равенството е вярно. Уравнението се свежда до вида \(ax = b\).
- Ако \(a \ne 0\), има единствено решение \(x = \frac{b}{a}\).
- Ако \(a = 0, b = 0\), всяко число е решение.
- Ако \(a = 0, b \ne 0\), няма решение.
Да се реши уравнението \(2(x+3) = 10\).
\[ 2x + 6 = 10 \]
\[ 2x = 10 - 6 \]
\[ 2x = 4 \]
\[ x = 2 \]
Решете уравнението \(7x - 5 = 3x + 11\).
\[ 7x - 3x = 11 + 5 \]
\[ 4x = 16 \]
\[ x = 4 \]
При решаване на уравнения от вида \(|ax+b| = c\), където \(c \ge 0\), се разглеждат два случая.
Уравнението \(|ax+b| = c\) е еквивалентно на \(ax+b = c\) или \(ax+b = -c\). Ако \(c < 0\), уравнението няма решение.
Решение на \(|x-2| = 40\):
1) \(x-2 = 40 \Rightarrow x = 42\)
2) \(x-2 = -40 \Rightarrow x = -38\)
Решенията са \(x_1 = 42\) и \(x_2 = -38\).
1) \(x-2 = 40 \Rightarrow x = 42\)
2) \(x-2 = -40 \Rightarrow x = -38\)
Решенията са \(x_1 = 42\) и \(x_2 = -38\).
Решете уравнението \(|2x+1| = 5\).
1) \(2x+1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x=2\)
2) \(2x+1 = -5 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x=-3\)
Решенията са 2 и -3.
2) \(2x+1 = -5 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x=-3\)
Решенията са 2 и -3.
Познаването на свойствата на тези ъгли е ключово за решаване на геометрични задачи.
- Сборът на два съседни ъгъла е \(180^\circ\).
- Връхните ъгли са равни.
- При пресичане на две успоредни прави с трета: кръстните ъгли са равни, съответните ъгли са равни, а сборът на прилежащите е \(180^\circ\).
Две успоредни прави са пресечени от трета. Един от прилежащите ъгли е \(120^\circ\). Колко е другият?
Сборът на прилежащите ъгли е \(180^\circ\). Следователно другият ъгъл е \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Това са три основни признака, чрез които доказваме, че два триъгълника са напълно еднакви (имат равни страни и ъгли).
- I признак (ССЪ): Две страни и ъгъл между тях.
- II признак (ЪСЪ): Страна и два прилежащи ѝ ъгъла.
- III признак (ССС): Три съответно равни страни.
Доказателство, че височините към бедрата в равнобедрен триъгълник са равни.
Разглеждаме \(\triangle ABP\) и \(\triangle BAM\).
1. \(AB\) е обща страна.
2. \(\angle PAB = \angle MBA\) (ъгли при основата на равнобедрен \(\triangle\)).
3. \(\angle APB = \angle BMA = 90^\circ\) (построение на височини).
Следователно \(\triangle ABP \cong \triangle BAM\) по II признак. Оттук следва, че съответните им страни \(BP\) и \(AM\) са равни.
Дадени са \(\triangle ABC\) и \(\triangle MNP\), като \(AC = MP\), \(BC = NP\) и \(AB = MN\). Еднакви ли са триъгълниците?
Да, еднакви са по III признак (ССС), тъй като трите страни на единия триъгълник са съответно равни на трите страни на другия.
Правоъгълният триъгълник има специфични свойства, свързани с ъгъл \(30^\circ\) и медианата към хипотенузата.
- Катет срещу ъгъл 30°: Ако в правоъгълен \(\triangle\) един от острите ъгли е \(30^\circ\), катетът срещу него е равен на половината от хипотенузата.
- Медиана към хипотенузата: Медианата към хипотенузата в правоъгълен \(\triangle\) е равна на половината от хипотенузата.
В правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) медианата \(CM\) към хипотенузата е 7 cm. Колко е дължината на хипотенузата \(AB\)?
Медианата към хипотенузата е половината от нея. Следователно \(AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 7 = 14\) cm.
Процесът е подобен на решаването на уравнения, но с едно ключово правило.
При умножаване или делене на двете страни на неравенството с отрицателно число, посоката на неравенството се обръща.
Да се реши неравенството \(\frac{x}{2} - 1 > 5\).
\[ \frac{x}{2} > 6 \]
\[ x > 12 \]
Решенията са всички числа в интервала \((12, +\infty)\).
Решете неравенството \(10 - 4x \ge 2\).
\[ -4x \ge 2 - 10 \]
\[ -4x \ge -8 \]
Делим на -4 и обръщаме знака:
\[ x \le \frac{-8}{-4} \]
\[ x \le 2 \]
Успоредникът е четириъгълник с две двойки успоредни срещуположни страни. Правоъгълникът, ромбът и квадратът са специални видове успоредници.
- Успоредник: Срещуположните страни са равни, срещуположните ъгли са равни, диагоналите се разполовяват.
- Правоъгълник: Успоредник с прав ъгъл. Диагоналите му са равни.
- Ромб: Успоредник с равни съседни страни. Диагоналите му са перпендикулярни и са ъглополовящи на ъглите.
- Квадрат: Едновременно правоъгълник и ромб.
Ако в ромб единият диагонал е равен на страната, то ъглите на ромба са \(60^\circ\) и \(120^\circ\). Например, ако в ромб ABCD, \(AC = AB\), то \(\triangle ABC\) е равностранен и \(\angle B = 60^\circ\). Тогава \(\angle D = 60^\circ\), а \(\angle A = \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Диагоналите на правоъгълник са \(AC = 5x - 3\) и \(BD = 2x + 9\). Намерете дължината им.
В правоъгълника диагоналите са равни, следователно \(AC = BD\).
\[ 5x - 3 = 2x + 9 \]
\[ 3x = 12 \Rightarrow x = 4 \]
Дължината на диагоналите е \(2 \cdot 4 + 9 = 8 + 9 = 17\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(3(x-1) = 2(x+4) - 1\).
\[ 3x - 3 = 2x + 8 - 1 \]
\[ 3x - 3 = 2x + 7 \]
\[ 3x - 2x = 7 + 3 \]
\[ x = 10 \]
Средна: В равнобедрен \(\triangle ABC\) (\(AC=BC\)) медианата \(AM\) към бедрото \(BC\) е перпендикулярна на ъглополовящата \(BL\) на \(\angle ABC\). Намерете ъглите на триъгълника.
Нека \(\angle ABC = \beta\). Тъй като \(\triangle ABC\) е равнобедрен, \(\angle BAC = \beta\).
\(BL\) е ъглополовяща, следователно \(\angle ABL = \angle LBC = \frac{\beta}{2}\).
Нека \(AM \cap BL = O\). По условие \(\angle BOL = 90^\circ\).
Разглеждаме \(\triangle ABO\). \(\angle BAO = \beta\), \(\angle ABO = \frac{\beta}{2}\).
От \(\triangle BOM\), който е правоъгълен, имаме \(\angle BMO = 90^\circ - \angle MBO = 90^\circ - \frac{\beta}{2}\).
В \(\triangle ABM\), \(BO\) е едновременно ъглополовяща и височина, следователно \(\triangle ABM\) е равнобедрен с \(AB = BM\).
Но \(BM = \frac{1}{2}BC\) (защото \(AM\) е медиана).
Следователно \(AB = \frac{1}{2}BC\).
В равнобедрения \(\triangle ABC\) спускаме височина \(CH\) към \(AB\). \(H\) е среда на \(AB\).
От правоъгълния \(\triangle AHC\) имаме \(\cos(\angle HAC) = \frac{AH}{AC}\).
\(\cos(\beta) = \frac{AB/2}{BC} = \frac{(BC/2)/2}{BC} = \frac{BC/4}{BC} = \frac{1}{4}\).
Това решение е за по-голям клас.
Нека опитаме с еднаквости.
В \(\triangle ABM\), \(BO\) е ъглополовяща и височина, значи е и медиана. Нека \(AO=OM\).
Не. Трябва \(BO\) да е височина към \(AM\). Така е дадено.
Значи \(\triangle ABM\) е равнобедрен, \(AB = BM\).
\(BM = \frac{1}{2}BC\), значи \(AB = \frac{1}{2}BC\). Нека \(AB = c\), \(BC=AC=b\). Тогава \(c = \frac{b}{2}\).
По неравенство на триъгълника \(b+b > c \Rightarrow 2b > c\), което е вярно. \(b+c > b \Rightarrow c>0\), вярно.
Ъглите не се получават лесно.
Да пробваме друга задача.
Нова Средна задача: Периметърът на ромб е 48 cm, а единият му ъгъл е \(120^\circ\). Намерете дължините на диагоналите му.
Решение: Периметърът е \(P = 4a = 48 \Rightarrow a = 12\) cm. Страната на ромба е 12 cm. Нека \(\angle BAD = 120^\circ\). Тогава \(\angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Разглеждаме \(\triangle ABC\). Той е равнобедрен (\(AB = BC = 12\) cm) с ъгъл между бедрата \(60^\circ\). Следователно \(\triangle ABC\) е равностранен. Това означава, че диагоналът \(AC = AB = 12\) cm. Диагоналите в ромба са перпендикулярни и се разполовяват. Нека се пресичат в т.О. В правоъгълния \(\triangle ABO\), \(AO = \frac{AC}{2} = 6\) cm, \(AB=12\) cm. По Питагорова теорема: \(BO^2 = AB^2 - AO^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108\). \(BO = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) cm. Другият диагонал е \(BD = 2 \cdot BO = 12\sqrt{3}\) cm. Отговор: Диагоналите са 12 cm и \(12\sqrt{3}\) cm.
Решение: Периметърът е \(P = 4a = 48 \Rightarrow a = 12\) cm. Страната на ромба е 12 cm. Нека \(\angle BAD = 120^\circ\). Тогава \(\angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Разглеждаме \(\triangle ABC\). Той е равнобедрен (\(AB = BC = 12\) cm) с ъгъл между бедрата \(60^\circ\). Следователно \(\triangle ABC\) е равностранен. Това означава, че диагоналът \(AC = AB = 12\) cm. Диагоналите в ромба са перпендикулярни и се разполовяват. Нека се пресичат в т.О. В правоъгълния \(\triangle ABO\), \(AO = \frac{AC}{2} = 6\) cm, \(AB=12\) cm. По Питагорова теорема: \(BO^2 = AB^2 - AO^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108\). \(BO = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) cm. Другият диагонал е \(BD = 2 \cdot BO = 12\sqrt{3}\) cm. Отговор: Диагоналите са 12 cm и \(12\sqrt{3}\) cm.
Трудна: Да се намери най-малкото цяло число, което е решение на неравенството: \(\frac{(2x-1)^2}{4} - \frac{x(x-3)}{1} \ge \frac{5}{4}\).
Умножаваме цялото неравенство по 4, за да се освободим от знаменателите:
\[ (2x-1)^2 - 4x(x-3) \ge 5 \]
Разкриваме скобите:
\[ (4x^2 - 4x + 1) - (4x^2 - 12x) \ge 5 \]
\[ 4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 + 12x \ge 5 \]
Съкращаваме \(4x^2\) и групираме подобните членове:
\[ (-4x + 12x) + 1 \ge 5 \]
\[ 8x + 1 \ge 5 \]
\[ 8x \ge 4 \]
\[ x \ge \frac{4}{8} \]
\[ x \ge \frac{1}{2} \]
Решението е \(x \in [0.5, +\infty)\). Най-малкото цяло число в този интервал е 1.
Отговор: 1.
