Най-важното от урока
Строги неравенства: \(x > a \rightarrow x \in (a, +\infty)\). \(x < a \rightarrow x \in (-\infty, a)\). Графично се отбелязват с празен кръг `o`.
Нестроги неравенства: \(x \ge a \rightarrow x \in [a, +\infty)\). \(x \le a \rightarrow x \in (-\infty, a]\). Графично се отбелязват със запълнен кръг `●`.
Важно правило: При умножение/деление с отрицателно число знакът на неравенството се обръща (\( > \Leftrightarrow < \)).
Нестроги неравенства: \(x \ge a \rightarrow x \in [a, +\infty)\). \(x \le a \rightarrow x \in (-\infty, a]\). Графично се отбелязват със запълнен кръг `●`.
Важно правило: При умножение/деление с отрицателно число знакът на неравенството се обръща (\( > \Leftrightarrow < \)).
Решенията на строги неравенства (\(x > a\) или \(x < a\)) се изобразяват с празен кръг върху числовата ос и се записват с обли скоби `()`. Облите скоби показват, че граничното число `a` не е част от решението.
Неравенството \(x > 3\) се представя графично и с интервал така:
Запис с интервал: \(x \in (3, +\infty)\).
Това означава "всички числа, по-големи от 3".
Това означава "всички числа, по-големи от 3".
Представете графично и с числов интервал решението на неравенството \(x < -1\).
Интервал: \(x \in (-\infty, -1)\).
Решенията на нестроги неравенства (\(x \ge a\) или \(x \le a\)) се изобразяват със запълнен кръг върху числовата ос и се записват с квадратни скоби `[]`. Квадратните скоби показват, че граничното число `a` е част от решението.
При знаците за безкрайност \(+\infty\) и \(-\infty\) винаги се използва обла скоба `)`.
Неравенството \(x \ge 3\) се представя графично и с интервал така:
Запис с интервал: \(x \in [3, +\infty)\).
Това означава "всички числа, по-големи или равни на 3".
Това означава "всички числа, по-големи или равни на 3".
Представете графично и с числов интервал решението на неравенството \(x \le 5\).
Интервал: \(x \in (-\infty, 5]\).
За да представим решенията на линейно неравенство, първо трябва да го решим спрямо неизвестното \(x\). След това представяме получения резултат графично и с интервал.
При умножаване или деление на двете страни на неравенство с отрицателно число, знакът на неравенството се обръща (от \(<\) става \(>\), от \(≤\) става \(≥\) и обратно).
Решете неравенството \(2(2x-3) \le 7x+3\) и представете решението му.
Запис с интервал: \(x \in [-3, +\infty)\).
\[ 4x - 6 \le 7x + 3 \]
\[ 4x - 7x \le 3 + 6 \]
\[ -3x \le 9 \quad | \cdot (-1) \]
\[ 3x \ge -9 \]
\[ x \ge -3 \]
Решете неравенството \(10 - 2x > 4\) и представете решението му с интервал.
\[ -2x > 4 - 10 \]
\[ -2x > -6 \quad | : (-2) \]
\[ x < 3 \]
Интервал: \(x \in (-\infty, 3)\).
Задачи за упражнение
Лесна: Запишете с интервал и представете графично решенията на неравенството \(x > -5\).
Интервал: \(x \in (-5, +\infty)\).
Графично:
Графично:
Средна: Решете неравенството \(5x - 8 \le 3x + 2\) и представете решенията му с интервал и графично.
\[ 5x - 3x \le 2 + 8 \]
\[ 2x \le 10 \]
\[ x \le 5 \]
Интервал: \(x \in (-\infty, 5]\).
Графично:
Графично:
Трудна: Решете неравенството \(3(x+5) \ge 5(x - 23)\) и представете решенията му с интервал.
\[ 3x + 15 \ge 5x - 115 \]
\[ 3x - 5x \ge -115 - 15 \]
\[ -2x \ge -130 \quad | \cdot (-1) \]
\[ 2x \le 130 \]
\[ x \le 65 \]
Интервал: \(x \in (-\infty, 65]\).
