Най-важното от урока
Цели изрази са съставени от числа и букви, свързани с действията събиране, изваждане и умножение.
Опростяване: Превеждане на израз в нормален вид чрез разкриване на скоби и приведение на подобни членове. Пример: \( x(x+2) - 2x = x^2+2x-2x = x^2 \).
Формули за съкратено умножение: Ключови инструменти за бързо умножение и разлагане. Най-важните са \( (a \pm b)^2 \), \( a^2-b^2 \) и \( a^3 \pm b^3 \).
Разлагане на множители: Представяне на сбор като произведение. Стратегия: 1. Общ множител, 2. Формули, 3. Групиране. Пример: \( 3x^2 - 27 = 3(x^2-9) = 3(x-3)(x+3) \).
Опростяване: Превеждане на израз в нормален вид чрез разкриване на скоби и приведение на подобни членове. Пример: \( x(x+2) - 2x = x^2+2x-2x = x^2 \).
Формули за съкратено умножение: Ключови инструменти за бързо умножение и разлагане. Най-важните са \( (a \pm b)^2 \), \( a^2-b^2 \) и \( a^3 \pm b^3 \).
Разлагане на множители: Представяне на сбор като произведение. Стратегия: 1. Общ множител, 2. Формули, 3. Групиране. Пример: \( 3x^2 - 27 = 3(x^2-9) = 3(x-3)(x+3) \).
Едночлен е израз, който е произведение на числа и букви (константи, параметри, променливи).
Нормален вид на едночлен се получава, като:
- Числовите множители се умножат и резултатът се запише най-отпред.
- Произведенията на еднакви букви се запишат като степени.
Коефициентът е числовият множител (включително параметрите) в нормалния вид на едночлена.
Степента на едночлена е сборът от степенните показатели на променливите в него.
Даден е едночленът \(u = (2x^2y)(-3axy)\).
- Нормален вид: \(u = (2 \cdot -3) \cdot a \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y) = -6ax^3y^2\)
- Коефициент: \(-6a\) (приемаме, че \(a\) е параметър)
- Степен (спрямо x и y): \(3 + 2 = 5\)
Приведете в нормален вид едночлена \(A = 5ab(-2a^2b)\) и определете коефициента и степента му (спрямо a и b).
\(A = -10a^3b^2\).
Коефициент: \(-10\).
Степен: \(3 + 2 = 5\).
Коефициент: \(-10\).
Степен: \(3 + 2 = 5\).
Многочлен (полином) е сбор от няколко едночлена.
Нормален вид на многочлен се получава, след като се извърши приведение (събиране и изваждане) на всички подобни едночлени. Прието е членовете да се подреждат по намаляващи степени на една от променливите.
Степен на многочлен е най-високата от степените на членовете му в нормален вид.
Действия с многочлени:
- Събиране/Изваждане: Разкриват се скобите (при знак "–" пред скоба знаците вътре се сменят) и се извършва приведение на подобните членове.
- Умножение: Всеки член на първия многочлен се умножава по всеки член на втория и получените произведения се събират.
Даден е изразът \(A = (2x-1)(x+3) - (x^2-5x)\).
1. Умножение: \( (2x-1)(x+3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3 \)
2. Изваждане: \( (2x^2 + 5x - 3) - (x^2 - 5x) = 2x^2 + 5x - 3 - x^2 + 5x \)
3. Нормален вид: \( (2x^2 - x^2) + (5x + 5x) - 3 = x^2 + 10x - 3 \)
Степента на многочлена е 2.
1. Умножение: \( (2x-1)(x+3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3 \)
2. Изваждане: \( (2x^2 + 5x - 3) - (x^2 - 5x) = 2x^2 + 5x - 3 - x^2 + 5x \)
3. Нормален вид: \( (2x^2 - x^2) + (5x + 5x) - 3 = x^2 + 10x - 3 \)
Степента на многочлена е 2.
Приведете многочлена \( B = (x-2)(x+2) - x(x+3) \) в нормален вид.
\( B = (x^2 - 4) - (x^2 + 3x) = x^2 - 4 - x^2 - 3x = -3x - 4 \)
Тези формули (тъждества) са ключови за бързо преобразуване на изрази – както за разкриване на скоби (умножение), така и за разлагане на множители.
Формули на квадрат
- \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
- \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)
Формули на куб
- \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
- \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)
- \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \)
- \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \)
Всяка формула може да се чете и от дясно наляво, което е процесът на разлагане на множители. Например: \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \).
Разлагането превръща сбор или разлика в произведение. Това е ключово умение за решаване на уравнения и опростяване на изрази.
Винаги проверявайте първо дали има общ множител за всички членове.
Пример: \( 5x^3 - 20x = 5x(x^2 - 4) \). След това изразът в скобите може да се разложи допълнително.
Пример: \( 5x^3 - 20x = 5x(x^2 - 4) \). След това изразът в скобите може да се разложи допълнително.
Проверете дали изразът (или част от него) отговаря на някоя от формулите за съкратено умножение.
Пример (продължение): \( 5x(x^2-4) = 5x(x-2)(x+2) \).
Пример (продължение): \( 5x(x^2-4) = 5x(x-2)(x+2) \).
Ако има четен брой членове (най-често 4) и няма общ множител, опитайте да ги групирате две по две.
Пример: \( ax + bx + ay + by = x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y) \).
Пример: \( ax + bx + ay + by = x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y) \).
За квадратни тричлени \( ax^2+bx+c \), които не се разлагат лесно, този метод помага.
Пример: \( x^2+6x-7 = (x^2+6x+9) - 9 - 7 = (x+3)^2-16 = (x-1)(x+7) \).
Пример: \( x^2+6x-7 = (x^2+6x+9) - 9 - 7 = (x+3)^2-16 = (x-1)(x+7) \).
Разложете на множители израза \( a^2 - 6a + 9 - b^2 \).
- Групираме първите три члена: \( (a^2 - 6a + 9) - b^2 \).
- Прилагаме формула за точен квадрат: \( (a-3)^2 - b^2 \).
- Прилагаме формула за разлика на квадрати: \( ((a-3)-b)((a-3)+b) = (a-b-3)(a+b-3) \).
Методът "допълване до точен квадрат" позволява да намерим най-малката (НМС) или най-голямата (НГС) стойност на квадратен тричлен.
Стъпки:
- Преобразувайте израза до вида \( (..)^2 + C \) или \( -(..)^2 + C \).
- Използвайте, че \( (..)^2 \ge 0 \).
- Ако изразът е \( A = (..)^2 + C \), то НМС е \(C\).
- Ако изразът е \( A = -(..)^2 + C \), то НГС е \(C\).
Намерете най-малката стойност на \( A = x^2 - 10x + 28 \).
Решение: \( A = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 28 = (x-5)^2 + 3 \).
Тъй като \( (x-5)^2 \ge 0 \), най-малката стойност на израза е 3 (при \(x=5\)).
Решение: \( A = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 28 = (x-5)^2 + 3 \).
Тъй като \( (x-5)^2 \ge 0 \), най-малката стойност на израза е 3 (при \(x=5\)).
Намерете най-голямата стойност на израза \( B = -x^2 - 4x + 6 \).
\( B = -(x^2+4x) + 6 = -(x^2+4x+4-4) + 6 = -( (x+2)^2 - 4 ) + 6 = -(x+2)^2 + 4 + 6 = -(x+2)^2 + 10 \).
Тъй като \( -(x+2)^2 \le 0 \), най-голямата стойност е 10 (при \(x=-2\)).
Тъй като \( -(x+2)^2 \le 0 \), най-голямата стойност е 10 (при \(x=-2\)).
Задачи за упражнение
Лесна: Опростете израза \( (x-4)^2 - (x-3)(x+3) \).
\( (x^2 - 8x + 16) - (x^2 - 9) = x^2 - 8x + 16 - x^2 + 9 = -8x + 25 \)
Средна: Разложете напълно на множители израза \( 2x^3 + 12x^2 + 18x \).
1. Изнасяме общ множител \(2x\):
\( 2x(x^2 + 6x + 9) \)
2. Разлагаме тричлена в скобите по формулата за квадрат на сбор:
\( 2x(x+3)^2 \)
\( 2x(x^2 + 6x + 9) \)
2. Разлагаме тричлена в скобите по формулата за квадрат на сбор:
\( 2x(x+3)^2 \)
Трудна: Докажете, че стойността на израза \( A = (x+2)^3 - x(x+3)^2 - 3x(x+1) \) не зависи от \(x\).
Опростяваме израза:
\( A = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - x(x^2 + 6x + 9) - (3x^2 + 3x) \)
\( A = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 - 6x^2 - 9x - 3x^2 - 3x \)
Групираме подобните членове:
\( A = (x^3 - x^3) + (6x^2 - 6x^2 - 3x^2) + (12x - 9x - 3x) + 8 \)
\( A = 0 - 3x^2 + 0 + 8 = -3x^2+8 \)
Забележка: В решението има грешка. Вероятно в условието на задачата има грешка. Ако условието беше \( A = (x+2)^3 - x(x+3)^2 - 3x(x-1) \) резултатът щеше да е константа. Сверявайки с често срещани задачи, най-вероятно в условието е имало грешка. Ако приемем оригиналното условие, изразът зависи от x. Нека преизчислим за всеки случай: (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 + 6x^2 + 9x) - (3x^2+3x) = x^3+6x^2+12x+8 - x^3-6x^2-9x-3x^2-3x = -3x^2+8. Да, стойността зависи от х. Ако приемем, че има грешка в изходния материал и задачата трябва да бъде решена, нека коригираме условието до \( A = (x+2)^3 - x(x-1)^2 - x(8x+13) \). Тогава: \( A = (x^3+6x^2+12x+8) - x(x^2-2x+1) - (8x^2+13x) = x^3+6x^2+12x+8-x^3+2x^2-x-8x^2-13x = (6x^2+2x^2-8x^2)+(12x-x-13x)+8=8\). Ще реша оригиналната задача и ще отбележа, че зависи от x.
След опростяване получаваме \( A = -3x^2 + 8 \). Стойността на този израз зависи от стойността на \(x\). Вероятно има грешка в условието на задачата, тъй като обикновено при такива задачи променливата се съкращава.
\( A = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - x(x^2 + 6x + 9) - (3x^2 + 3x) \)
\( A = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 - 6x^2 - 9x - 3x^2 - 3x \)
Групираме подобните членове:
\( A = (x^3 - x^3) + (6x^2 - 6x^2 - 3x^2) + (12x - 9x - 3x) + 8 \)
\( A = 0 - 3x^2 + 0 + 8 = -3x^2+8 \)
Забележка: В решението има грешка. Вероятно в условието на задачата има грешка. Ако условието беше \( A = (x+2)^3 - x(x+3)^2 - 3x(x-1) \) резултатът щеше да е константа. Сверявайки с често срещани задачи, най-вероятно в условието е имало грешка. Ако приемем оригиналното условие, изразът зависи от x. Нека преизчислим за всеки случай: (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 + 6x^2 + 9x) - (3x^2+3x) = x^3+6x^2+12x+8 - x^3-6x^2-9x-3x^2-3x = -3x^2+8. Да, стойността зависи от х. Ако приемем, че има грешка в изходния материал и задачата трябва да бъде решена, нека коригираме условието до \( A = (x+2)^3 - x(x-1)^2 - x(8x+13) \). Тогава: \( A = (x^3+6x^2+12x+8) - x(x^2-2x+1) - (8x^2+13x) = x^3+6x^2+12x+8-x^3+2x^2-x-8x^2-13x = (6x^2+2x^2-8x^2)+(12x-x-13x)+8=8\). Ще реша оригиналната задача и ще отбележа, че зависи от x.
След опростяване получаваме \( A = -3x^2 + 8 \). Стойността на този израз зависи от стойността на \(x\). Вероятно има грешка в условието на задачата, тъй като обикновено при такива задачи променливата се съкращава.
