Най-важното от урока
Ротацията се определя от център, ъгъл и посока (положителна: обратно на часовника, отрицателна: по часовника).
При ротация около \(O\) на ъгъл \(\alpha\), точка \(X\) отива в \(X'\) така, че \(OX = OX'\) и \(\angle XOX' = \alpha\).
Ключово свойство: Ротацията е еднаквост, т.е. запазва разстояния, ъгли и форми. За да завъртите фигура, завъртете нейните основни точки.
При ротация около \(O\) на ъгъл \(\alpha\), точка \(X\) отива в \(X'\) така, че \(OX = OX'\) и \(\angle XOX' = \alpha\).
Ключово свойство: Ротацията е еднаквост, т.е. запазва разстояния, ъгли и форми. За да завъртите фигура, завъртете нейните основни точки.
Положителна посока на въртене е тази, която е обратна на движението на часовниковата стрелка.
Отрицателна посока на въртене е тази, която съвпада с движението на часовниковата стрелка.
Дадена е ротация на ъгъл \(\alpha = -60^\circ\). В каква посока се извършва въртенето?
Отговор: Посоката е отрицателна (по часовниковата стрелка), защото ъгълът е със знак минус.
Ротация (въртене) е геометрична трансформация, определена от три елемента: център на ротация \(O\), ъгъл на ротация \(\alpha\) и посока (положителна или отрицателна).
При ротация всяка точка \(X\) се изобразява в точка \(X'\), така че:
- Разстоянието до центъра се запазва: \(OX = OX'\).
- Ъгълът между лъчите \(OX\) и \(OX'\) е равен на ъгъла на ротация: \(\angle XOX' = \alpha\).
- Центърът на ротация остава на мястото си: \(O \rightarrow O\).
Точка M е на разстояние 7 cm от точка O. Какво ще бъде разстоянието \(OM'\), ако \(M'\) е образът на M при ротация с център O?
Отговор: Ротацията запазва разстоянията до центъра. Следователно, \(OM' = OM = 7\) cm.
Ротацията е еднаквост (движение). Това означава, че тя запазва формата и размера на фигурите.
При ротация:
- Образът на отсечка е отсечка, равна на дадената. \(AB = A'B'\)
- Образът на ъгъл е ъгъл, равен на дадения. \(\angle pCq = \angle p'C'q'\)
- Образът на окръжност е окръжност, равна на дадената. \(k(L,r) \cong k'(L',r)\)
Квадрат има страна с дължина 5 cm. Каква фигура ще бъде неговият образ след ротация и каква ще бъде дължината на страната ѝ?
Отговор: Образът ще бъде квадрат, еднакъв на първоначалния. Дължината на страната му също ще бъде 5 cm.
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е квадрат \(ABCD\). Построяваме образа му \(A'B'C'D'\) при ротация с център \(A\) и ъгъл \(+90^\circ\). В коя точка ще се изобрази върхът \(B\)?
Търсим точка \(B'\) така, че \(AB = AB'\) и \(\angle BAB' = 90^\circ\) в положителна посока. В квадрата \(ABCD\) имаме \(AB=AD\) и \(\angle DAB = 90^\circ\). Следователно, образът на точка \(B\) е точка \(D\).
Средна: Отсечка \(MN\) с дължина 6 cm се върти около точка \(O\), която не лежи на отсечката, на ъгъл \(-45^\circ\). Каква е дължината на образа \(M'N'\) и какъв ъгъл сключват правите \(MN\) и \(M'N'\)?
Ротацията е еднаквост, затова дължината на образа е равна на дължината на оригинала: \(M'N' = MN = 6\) cm. Ъгълът между права и нейния образ при ротация е равен на ъгъла на ротация, т.е. 45°.
Трудна: Даден е равностранен \(\triangle ABC\). Точка \(M\) е средата на страната \(AB\). Да се намери образът на \(\triangle AMC\) при ротация с център \(M\) и ъгъл \(+180^\circ\).
Нека ротацията е \(R(M, +180^\circ)\).
1. Центърът \(M\) се изобразява в себе си: \(M \rightarrow M\).
2. Точка \(A\) е на правата \(MB\) и \(MA = MB\). При ротация на \(+180^\circ\) около \(M\), точка \(A\) се изобразява в точка \(B\).
3. Търсим образа \(C'\) на \(C\). Той трябва да е такъв, че \(MC = MC'\) и \(\angle CMC' = 180^\circ\). Това означава, че \(M\) е среда на отсечката \(CC'\).
Образът на \(\triangle AMC\) е \(\triangle BMC'\), където \(M\) е средата на \(CC'\).
1. Центърът \(M\) се изобразява в себе си: \(M \rightarrow M\).
2. Точка \(A\) е на правата \(MB\) и \(MA = MB\). При ротация на \(+180^\circ\) около \(M\), точка \(A\) се изобразява в точка \(B\).
3. Търсим образа \(C'\) на \(C\). Той трябва да е такъв, че \(MC = MC'\) и \(\angle CMC' = 180^\circ\). Това означава, че \(M\) е среда на отсечката \(CC'\).
Образът на \(\triangle AMC\) е \(\triangle BMC'\), където \(M\) е средата на \(CC'\).
